Compacite,non convergence d'une suite

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radio101
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Compacite,non convergence d'une suite

par radio101 » 13 Mai 2010, 14:24

Bonjour à tous

E est un evn de dimension finie, (un) une suite bornée dans E. V est l'ensemble des valeurs d'adhérence de (un).

Le but de la manoeuvre est de montrer que V est non vide,compacte dans E.

J'ai montré que V est non vide, bornée et je cherche à montrer qu'elle est fermée ce qui me permettra de conclure.

J'ai considéré le complémentaire de V dans E pour prouver qu'il est ouvert.
Soit donc x tel que x ne soit pas une valeur d'adhérence de (un)...et je coince la, je n'arrive pas à exploiter la formalisation de cette hypothèse...

Merci de votre aide
Cordialement



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Ben314
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par Ben314 » 13 Mai 2010, 14:40

Salut,
Il me semble bien que, quasi par def., si x n'est pas valeur d'adhérence alors il existe une boule ouverte centrée en x qui ne contient qu'un nombre fini de terme de la suite de départ.
Donc, pour tout element x' de cette boule...
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radio101
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par radio101 » 13 Mai 2010, 14:51

Oui j'en suis là, mais pourquoi cette boule contient elle un nombre fini d'éléments ?

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Ben314
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par Ben314 » 13 Mai 2010, 14:56

C'est quoi la définition d'une valeur d'adhérence ?
Et ca donne quoi si tu prend la négation ?
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radio101
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par radio101 » 13 Mai 2010, 15:02

x Valeur d'adhérence : x limite d'une suite extraite de (un)
x Pas valeur d'adhérence : aucune suite extraite ne converge vers x ?

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Ben314
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par Ben314 » 13 Mai 2010, 15:05

O.K., mais c'est pas le plus malin ici.
Je pense que tu as du voir que :
x valeur d'adhérence de Un ssi :
Pour tout r>0 et tout entier N, il existe un entier n>N tel que ||Un-x||<r

Qui, en terme de boules centrées en r signifie que...
Et donc la négation signifie que...

P.S. : l'équivalence entre cette défibition et celle en terme de suite extraite est du "archi hyper classique"...
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radio101
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par radio101 » 13 Mai 2010, 18:51

Qui, en terme de boules centrées en r signifie que...


centrées en x je suppose

Ok merci c'est bon.
Pour répondre au PS, je suis en train de me remettre aux maths, donc les reflexes reviennent doucement

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Ben314
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par Ben314 » 13 Mai 2010, 19:09

Effectivement, c'est "centrée en x".
Pour l'équivalence entre les deux définitions, c'est pas super complexe mais pas super simple non plus : dans le sens "pour tout r et tout N... => il existe une sous suite qu C.V. vers x", il faut fabriquer la suite en prenant des boules de rayon 1/n...
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