Caracteristique d'un corps !

[barbu23]

Bonsoir à tous : :happy3:
Je voudrais savoir pourquoi la caracteriqtique de est , et pourquoi : est le corps des fractions de ?
Merci d'avance ! :happy3:

[alavacommejetepousse]

bonsoir
0 est le seul entier positif n vérifiant n 1 = 0 ou 1 est le neutre de Q

[barbu23]

Désolé je parle de et non de ! :happy3:

[barbu23]

On utilise le même argument que celui de "alava...." pour ! :happy3:

[barbu23]

pourquoi : est le corps des fractions de ?

[alavacommejetepousse]

c est un corps qui contient Z[i] et tout corps contenant Z[i le contient

[barbu23]

Mais ce n'est pas la définition d'un corps de fraction et donc ça repond pas encore à la question ! :triste: :happy2:

[barbu23]

Oui, c'est vrai désolé ! mais pourquoi, tout corps contenant Z[i] contient Q[i] ? :happy3:

[alavacommejetepousse]

1/(a+ib) = ? a,b dans Z

[barbu23]

:hein: Qu'est ce qui faut montrer pour verifier ça ? :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

[alavacommejetepousse]

1/(a+ib) = (a-ib) / (a^2 +b^2) est dans Q(i)

[barbu23]

Oui je sais mais je comprends pas ce que tu tentes d'expliquer ! :happy3:

[alavacommejetepousse]

je reprends
le corps des fractions est le plus petit sous corps contenant l anneau intègre


1)Q(i) est un corps contenant Z [i] oui non ?
2) soit un corps H (inclus dans C) contenant Z[i] a+ib est dans H donc son inverse (a-ib) /(a^2+b^2) aussi

or qd a et b décrivent Z il est facile de voir que l'inverse décrit Q(i)
donc Q(i) inclus dans H

donc Q(i) plus petit corps contenant Z[i]

[Ben314]

Par définition, est l'ensemble des complexes de la forme avec et .
Comme , c'est en fait l'ensemble des nombres de la forme avec .

De même, est l'ensemble des complexes de la forme avec .

Par définition, le corps de fractions de est l'ensemble des complexes de la forme avec et
c'est à dire l'ensemble des complexes de la forme avec et

Pour montrer que ces deux ensembles ont les mêmes, il suffit de montrer que :
1) Tout avec peut s'écrire sous la forme avec et : c'est trés facile et on peut même prendre
2) Tout avec et peut s'écrire sous la forme avec : c'est un tout petit peu plus compliqué et c'est là qu'il faut multiplier par la quantité conjuguée comme te le suggérai alavacommejetepousse...