Calcul determinant

[annouss1]

Bonjour
Soit la matrice où les et les sont dans telques et ,
je voudrais savoir est ce que cette matrice est inversible ou non, y'a-til une méthode pour calculer son déterminant ?
Merci

[Robot]

Recherche "matrice de Cauchy" ou "déterminant de Cauchy". Ca pourra te donner des idées.

[aymanemaysae]

Recherche "matrice de Cauchy" ou "déterminant de Cauchy". Ça pourra te donner des idées.

Pour mettre à profit cette indication et pour y voir plus clair, je crois qu'il vaudrait mieux expliciter le problème pour n = 2 et n = 3 puis essayer de généraliser pour .

Supposons ;

et soit telle que avec .

On a

et .

Quelles remarques pouvez-vous faire sur ces deux cas ?

[annouss1]

j'ai essayer pour n =2, 3 mais je trouve pas de formule générale pour calculer ce déterminant ,je pense l'idée se trouve par un logiciel telque Maple, Matlab...

[Robot]

As-tu suivi mon conseil ?

Sans prendre des idées du côté des déterminants de Cauchy : que se passe-t-il si on a tels que ? Si on a tels que ?

On peut avoir intérêt à considérer le déterminant comme un polynômes en les indéterminées et , et à raisonner en termes de factorisation et de degré de polynômes.

[aymanemaysae]

Bonjour;

y'a -t- il une condition sur les ?

[aymanemaysae]

Bonsoir;

Je vois que M. Annouss1 a délaissé cet exercice, et pour profiter de la présence de M. Robot sur ce fil, je relance la discussion en supposant que avec .

On a déjà posé : telle que avec .

On traitera deux cas:

.

aura deux colonnes identiques, donc , donc est non inversible.

Sinon,



avec déterminant de Cauchy, donc est inversible .

Toutes les remarques sont les bienvenues .

As-tu suivi mon conseil ?

Sans prendre des idées du côté des déterminants de Cauchy : que se passe-t-il si on a tels que ? Si on a tels que ?

On peut avoir intérêt à considérer le déterminant comme un polynômes en les indéterminées et , et à raisonner en termes de factorisation et de degré de polynômes.

Je crois que cette méthode est plus intéressante que la mienne, mais je n'arrive pas à faire le premier pas: j'espère que M. Robot nous éclairera un peu plus.

Merci.

[Robot]

Qui c'est, Robert ?

Je répète ma suggestion pour une approche directe sans passer par le déterminant de Cauchy : considérer les et comme des indéterminées, et le déterminant comme un polynôme appartenant à l'anneau factoriel . On cherche alors des facteurs irréductibles de ce polynôme ; pour cela on regarde ce qui se passe quand on fait pour , ou pour . On vérifie ensuite grâce à une considération de degré qu'on a attrapé tous les facteurs irréductibles non constants de . Il ne reste plus qu'à déterminer le facteur constant.

C'est un procédé classique, qu'on peut utiliser par exemple pour le déterminant de Vandermonde, et qu'on peut voir aussi pour le calcul du déterminant de Cauchy.

[aymanemaysae]

Bonjour;

Je m'excuse pour cette faute d'inadvertance que je corrigerai tout de suite ,et qui est essentiellement due à une recherche que j'ai entamée cette semaine sur la vie du célèbre Mathématicien Français Robert Vallée: la faute n'est pas aussi grave que ça, puisque je vous considère aussi comme un Grand Mathématicien et pour passer de Robert à Robot il suffit de remplacer le "er" par un "o" et le tour est joué.

Je vous remercie amplement pour vos conseils et je vais m'atteler à la tâche dés ce matin.

Merci.