Calcul de déterminant

par **benekire2** » 04 Jan 2011, 12:17

Bonjour a tous !

Je bloque sur le calcul d'un déterminant qui parrait pourtant gentillet :

Et puis un autre aussi, dans un tout autre style , mais assez méchant je trouve : det A avec

Pour les deux , les développements ligne colones / opérations élémentaires / récurrence ne semblent rien donner ...

Merci de votre aide :we:

par **girdav** » 04 Jan 2011, 13:00

Bonjour,
pour le premier déterminant on peut introduire la matrice

.

par **Nightmare** » 04 Jan 2011, 15:24

Hello,

pour 2) un test avec n=0,1,2,3 semble dire que le rang vaut 1. A voir par récurrence.

par **Ben314** » 04 Jan 2011, 16:31

Perso, pour le 2), je trouve que le determinant vaut le coeff binomial

mais aprés moult calculs...
(commencer par grandement simplifer le determinant en faisant des opérations sur les lignes puis développer pour obtenir une formule de réccurence suivant p (pour n fixé))

par **Nightmare** » 04 Jan 2011, 16:40

Hum alors j'ai du me planter dans mes calculs mais c'est bizarre, par exemple pour n=0, la matrice est triangulaire inférieure avec uniquement des 1 sur la diagonales, donc de déterminant 1, alors qu'avec ta formule, on obtient p-1 :s

par **Ben314** » 04 Jan 2011, 16:51

Je me demande s'il n'y a pas ambiguité sur la matrice A :

benekire2 a écrit:

Pour moi,

Donc, lorsque

,

lorsque

donc le déterminant est nul et on a bien

Par contre, pour

, la matrice est bien triangulaire avec des 1 sur la diagonale donc le déterminant vaut 1 et on a bien

par **benekire2** » 04 Jan 2011, 19:01

Ah , oui pour le 2 , quand j'écrivais ça pour n=1 p=3 , je n'avais vraiment aucune pitié sur les coef binomiaux qui n'existent pas trop donc du coup c'était chaud ...
Je vais donc retourner a mes calculs barbarres ce soir !!

Pour la 1 , je vais essayer avec l'indication de Girdav. Ce déterminant à la tête d'un truc connu, je me trompe ?

par **Ben314** » 05 Jan 2011, 11:13

En regardant d'un peu plus prés, on peut même calculer le déterminant de toute matrice carrée

extraite du triangle de pascal :

où

La matrice du 2) correspondant alors au cas

.

par **benekire2** » 05 Jan 2011, 15:29

Salut Ben !
Comment tu te débrouille pour calculer ton truc là ? je trouve ça super chiant en calculs !

Merci !

par **Ben314** » 05 Jan 2011, 15:42

benekire2 a écrit:Salut Ben !
Comment tu te débrouille pour calculer ton truc là ? je trouve ça super chiant en calculs !

Merci !

Commence par le cas p=0 (bricolage sur les lignes + récurrence) puis... c'est fini modulo une petite astuce...

par **benekire2** » 05 Jan 2011, 18:54

Partons pour p=0 ... puisque je n'y arrive même pas ... en fait sur la première colonne on a les coefficients bonomiauw du type C(n,1) ce qui fait qu'ils valent n+1 , n+2 , ... et donc on effectue l'opération Lk <-- Lk-L(k-1) et on réduit grâce à la relation de pascal. On a tout plein de 1 qu'on veut éliminer , sauf que en haut de cette même colonne on a un truc du genre n+1 et donc ... on peut pas trop faire "tomber" le déterminant à une taille d-1 . Comment faire ? :cry:

par **Ben314** » 05 Jan 2011, 19:03

benekire2 a écrit:Partons pour p=0 ... puisque je n'y arrive même pas ... en fait sur la première colonne on a les coefficients bonomiauw du type C(n,1) ce qui fait qu'ils valent n+1 , n+2 , ... et donc on effectue l'opération Lk <-- Lk-L(k-1) et on réduit grâce à la relation de pascal. On a tout plein de 1 qu'on veut éliminer , sauf que en haut de cette même colonne on a un truc du genre n+1 et donc ... on peut pas trop faire "tomber" le déterminant à une taille d-1 . Comment faire ?

Si sur la première colonne tu as des C(i,1) et pas des C(i,0), c'est que... tu as pris p=1 et pas p=0 comme je le suggérais....

par **benekire2** » 05 Jan 2011, 19:08

Ben314 a écrit:Si sur la première colonne tu as des C(i,1) et pas des C(i,0), c'est que... tu as pris p=1 et pas p=0 comme je le suggérais....

Oui j'ai bien dit que j'avais des C(n+i,1)=n+i , ce qui les fais partir en les sostrayant, il reste que des 1 et un n+1 en haut. Donc ça change rien à la situation ...

par **Ben314** » 05 Jan 2011, 19:11

benekire2 a écrit:Oui j'ai bien dit que j'avais des C(n+i,1)=n+i , ce qui les fais partir en les sostrayant, il reste que des 1 et un n+1 en haut. Donc ça change rien à la situation ...

Je te le ReRedit (3 em fois) : prend p=0 et pas p=1 !!!!
Ensuite, une fois le cas p=0 traité, il y a une petite astuce pour passer à p quelconque (et cette astuce est moins visible dans le cas particulier p=1 que dans le cas général)

par **benekire2** » 05 Jan 2011, 19:13

Merde oui , on commence a 0 !!!!!!!!

Donc ça doit se faire assez facilement du coup , puisque on vire tout les 1 !! Sinon pour l'astuce je regarde ça tout de suite !

par **benekire2** » 05 Jan 2011, 19:40

Bon, pour finir le machin il semble que en fait en décomposant une ligne avec pascal et en enlevant la ligne d'avant on retombe sur nos pattes. Bon, en théorie tout est bon :lol3:

Sinon pour le premier j'ai essayé d'utiliser la matrice de Girdav , le tout doit être dans une multiplication, un peu comme avec le déterminant circulant, mais je ne vois pas comment m'en sortir ici ?

par **Ben314** » 05 Jan 2011, 19:50

Pour le 1), perso, je serait plutôt parti avec la matrice

qu'avec celle de Girdav, mais ça doit pas bien changer grand chose.
Calcule les puissances de

(la mienne ou celle de Girdav) puis exprime ta matrice de départ à l'aide de

...

par **benekire2** » 05 Jan 2011, 20:01

Punaise oui c'est fou !! Les puissances font exactement ce que je veut ! J'avais essayé de multiplier ma matrice par cette matrice (après indic de Girdav) puis de continuer , sauf que je faisais les calculs "à la chaine" et je voyais pas trop ce qui se passait ...

Sinon, j'ai une question un peu stupide ... J'ai le déterminant

1 cos(a0) ... cos(na0)
1 cos(a1) ... cos(na1)
1 cos(an) ... cos(nan)

on me demande de le "factoriser", ce que j'ai fais c'est que j'ai pris la première ligne et je l'ai retranchée a toutes les autres, du coup on a plein de 0 , le determinant "tombe" et on factorise les cos(a)-cos(b) et puis c'est tout (le déterminant restant est moche !!) ... c'est ça qu'il fallait faire ?

Merci !

par **Ben314** » 05 Jan 2011, 20:24

benekire2 a écrit:Punaise oui c'est fou !! Les puissances font exactement ce que je veut ! J'avais essayé de multiplier ma matrice par cette matrice (après indic de Girdav) puis de continuer , sauf que je faisais les calculs "à la chaine" et je voyais pas trop ce qui se passait ...

Sinon, j'ai une question un peu stupide ... J'ai le déterminant

1 cos(a0) ... cos(na0)
1 cos(a1) ... cos(na1)
1 cos(an) ... cos(nan)

on me demande de le "factoriser", ce que j'ai fais c'est que j'ai pris la première ligne et je l'ai retranchée a toutes les autres, du coup on a plein de 0 , le determinant "tombe" et on factorise les cos(a)-cos(b) et puis c'est tout (le déterminant restant est moche !!) ... c'est ça qu'il fallait faire ?

Merci !

A mon avis, on peut faire nettement mieux vu que ton "petit" facteur ne vaut zéro que lorsque a0 est égal à un autre ai alors que, clairement, le déterminant est nul lorsque n'importe quel aj est égal à un autre ai (deux lignes égales)...

par **benekire2** » 06 Jan 2011, 00:13

Ouais on doit faire mieux , surtout qu'il est noté comme "

" ce qui insinue une récurrence. Donc a part sortir le développement de cos(nx) , non merci ... donc il doit y avoir un stuce. Puisque virer les 1 ne marchent pas ici je vois pas trop comment on va faire !!

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