Opérations élémentaires calcul rang et déterminant

[Don vito]

Salut,
J'ai encore des problèmes avec le calcul de rang des matrices , je crois bien que toutes les opérations sont permises dans ce cas que ce soit sur les lignes ou sur les colonnes.Si par exemple pour une matrice d'ordre 3 il me parait que les 3 vecteurs sont linéairement indépendant je peux directement dire que le rang égal à 3? c'est la même chose si je le vois pour les lignes? si la matrice n'est pas carré que voir : lignes ou colonnes?dans ce même dernier cas comment appliquer la méthode de pivot de gauss?

Quant aux déterminant , j'ai aussi des problèmes quant aux opérations élémentaires , est ce qu'il faut travailler uniquement sur les lignes ou avec les colonnes aussi (je veux dire ne pas changer vers le calcul avec les lignes si on a commencé avec les colonnes)? Serait ce plutôt une confusion avec une méthode de calcul de l'inverse.

Je vous prie de me corriger également si j"ai dit quelque chose de faux .Veuillez m'excuser si j'en demande trop avec ces questions.

Merci

[vincentroumezy]

Salut !
Oui, pour une matrice 3x3, si tu as 3 colonnes (ou lignes) qui forment une famille libre, le rang est 3.
Pour le calcul de déterminant, les opérations de pivot de Gauss servent simplement à faire apparaître des 0 pour simplifier les calculs, donc tu peux agir sur lignes et colonnes.

[Don vito]

Merci vincentroumezy.Je voudrais aussi savoir que faire , comment appliquer la méthode de pivot de gauss pour le calcul de rang si une matrice n'est pas carré, et dans ce cas pour l'indépendance linéaire que regarder ligne ou colonne?

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je vois pas trop bien le rapport entre pivot de Gauss et matrice.
La méthode du pivot de Gauss est une méthode de résolution d'un système linéaire de N équations à N inconnues.
Il n'y a pas lieu de se poser la question, nombre de ligne <-> nombre de colonne, puisqu'un tel système a forcément le même nombre de lignes que de colonnes, plus la colonne qui se trouve à droite du signe '='.
Ou bien on fait du calcul matriciel, composition d'applications, ou bien on résout un système linéaire, mais il est normal que si on mélange les deux notions on soit perdu.
On peut aussi calculer le déterminant d'une matrice carrée, mais je pense pas que ce soit le sujet.

[vincentroumezy]

Tu t'égares un peu.
Le pivot de Gauss est avant tout un outil matriciel qui sert notamment à calculer l'inverse d'une matrice, résoudre un système mis sous forme matriciel ou non, calculer un rang, ou un déterminant.

[Don vito]

@ Dlzlogic: comme l'a dit vincentroumezy le pivot de gauss sert bien à calucler le rang d'une matrice.Je vais le dire clairement parce que je crois que je ne me suis pas bien exprimé.Pour une matrice qui n'est pas carré comment faire pour calculer le rang?
Évitons les appellations , ce que je sais c'est que pour calculer un rang , je me base sur un pivot et je fais apparaitre des zéros dessous et compte tenu des non zéros sur la diagonale je déduis le rang.Ceci j'arrive pas à le concevoir pour une matrice non carré.(c'est là ou j'ai confusion peut être).
Quant à la question de lignes ou colonnes je crois encore que je ne me suis pas bien fait comprendre .C'est toujours dans le cas d'une matrice non carré dont je voudrais connaitre le rang.Biensur on peut voir ses colonnes comme des vecteurs , et le nombre de vecteurs linéairement indépendant constitue le rang de cette matrice , je voudrais sur ce point juste m'assurer d'une chose.Pour une matrice carré on peut determiner le rang en regardant l'independance linéaire soit des lignes soit des colonnes mais pour une matrice non carré je suppose que ce n'est possible que pour les colonnes? Voila.

[Dlzlogic]

Tu t'égares un peu.
Le pivot de Gauss est avant tout un outil matriciel qui sert notamment à calculer l'inverse d'une matrice, résoudre un système mis sous forme matriciel ou non, calculer un rang, ou un déterminant.

La méthode du pivot de Gauss est une méthode pour transformer un système en un autre système équivalent (ayant les mêmes solutions) qui est triangulaire et est donc facile à résoudre. Les opérations autorisées pour transformer ce système sont :

échange de deux lignes.
multiplication d'une ligne par un nombre non nul.
addition d'un multiple d'une ligne à une autre ligne.

Les premières lignes du premier lien sur Google avec la recherche "pivot de Gauss"
Pour rentrer plus de détails, la méthode du pivot de Gauss impose des équations, c'est à dire avec un signe '=', et à droite du signe '=' il y des constantes, non toutes nulles.
Mais comme le terme "matrice" est utilisé à toutes les sauces, j'ai effectivement tort, puisque tout est en relation avec tout.
Pourquoi dire "forme matricielle" et pas dire simplement "mettre en tableau".
Maintenant quand on donne une "formule" de transformation, on répond "pourquoi t'as donné une matrice". D'ailleurs, à partir du moment où il y a des inconnues dans une relation, il ne peut en aucun cas s'agir d'une matrice.
Mais je sais bien, pour comprendre et surtout interpréter un terme, il faut connaitre le contexte, ce qui est incompatible avec le statut d'étudiant qui, par définition, apprend donc ne connait pas.
[Fin de hors-sujet]

[Don vito]

Maintenant est ce que quelqu'un aurait l’obligeance de répondre à ma question :D?

[Dlzlogic]

Je viens de lire un article qui parlait de la conjonction Matrice + rang + pivot de Gauss.

Deux remarques :
1- il est bien précisé la définition du rang d'une matrice

On appelle rang de la matrice A, not´e rg(A), le rang
de l’application lin´eaire canoniquement associ´ee `a A. Si (C1, . . . ,Cp) est la famille des colonnes
de A, alors
rg(A) = rg(C1, . . . ,Cp) .

Une matrice non carrée ne peut pas être associée à une application linéaire canonique.
2- pour calculer le rang d'une matrice, d'après ce que j'ai compris, la dimensions des vecteurs de l'Ensemble vectoriel, donc le nombre de lignes, n'est il pas plus simple de les compter.

Mais, je dis certainement des âneries.

[Don vito]

Ok mes remerciements les plus distingués Dlzlogic ^^

[Doraki]

L'application canonique associée à une matrice A de taille n*m, c'est l'application linéaire de R^n dans R^m dont la matrice dans les bases canoniques respectives de R^n et R^m est A.

Le rang d'une application linéaire est la dimension de son image, et donc pour une matrice, c'est la dimension du sous-espace vectoriel de R^m qui est engendré par les vecteurs colonnes composant A.

Le calcul du rang d'une matrice non carrée est exactement pareil que pour une matrice carrée. Si vraiment ça ne te plait pas de travailler sur une matrice non carrée, tu peux compléter ta matrice en une matrice carrée en rajoutant des colonnes (ou des lignes) de 0, ça ne changera pas le rang.

[vincentroumezy]

2- pour calculer le rang d'une matrice, d'après ce que j'ai compris, la dimensions des vecteurs de l'Ensemble vectoriel, donc le nombre de lignes, n'est il pas plus simple de les compter.

Mais, je dis certainement des âneries.

Oui, tu en dis, compter les lignes, ce n'est pas calculer le rang.
C'est le nombre de lignes indépendantes.
PS: Pour le statut d'étudiant qui apprend donc ne connaît pas, tu as encore tord, car tu n'est plus étudiant, mais ne connaît pas non plus.

[Dlzlogic]

Oui, tu en dis, compter les lignes, ce n'est pas calculer le rang.
C'est le nombre de lignes indépendantes.
PS: Pour le statut d'étudiant qui apprend donc ne connaît pas, tu as encore tord, car tu n'est plus étudiant, mais ne connaît pas non plus.

Aurais-je dit quelque-part que quand on n'est plus étudient on connait ?
Ce que tu dis n'est pas très gentil.
Pour moi, les matrices constituent un outil mathématique. Tu sais bien que le mathématiques fondamentales ne m'intéressent pas, et pourquoi aurais tort de dire que mettre les matrices à toutes les sauces ne me parait pas une bonne idée, surtout quand on constate de temps en temps que ça provoque un blocage. Dans mon jargon, on appelle ça "prendre un canon pour tuer une mouche".
Exemple par MP si tu veux.

[vincentroumezy]

Aurais-je dit quelque-part que quand on n'est plus étudient on connait ?
Ce que tu dis n'est pas très gentil.
Pour moi, les matrices constituent un outil mathématique. Tu sais bien que le mathématiques fondamentales ne m'intéressent pas, et pourquoi aurais tort de dire que mettre les matrices à toutes les sauces ne me parait pas une bonne idée, surtout quand on constate de temps en temps que ça provoque un blocage. Dans mon jargon, on appelle ça "prendre un canon pour tuer une mouche".
Exemple par MP si tu veux.

Les matrices ont un outil IN-DIS-PEN-SA-BLE en algèbre linéaire.
Comment tu calcules le rang d'un morphisme d'ev sans matrice ?
Comment tu calcules l'expression dans une base de la réciproque d'un isomorphisme d'ev ?
"Aurais-je dit quelque-part que quand on n'est plus étudient on connait ?" Non, mais je confirme que c'est le cas, et je réfute le fait que les étudiants soient de bêtes apprenant de par coeur (ça, tu l'as dit).

[Dlzlogic]

J'ai déjà dit que l'époque où j'ai étudié les matrices est beaucoup trop éloigné pour que je me souvienne d'autre-chose que quelques définitions.
Désolé, je ne fais pas non plus d'algèbre linéaire (forcément).
Je n'ai jamais dit que les matrices n'étaient pas indispensables à certaines opérations, j'ai seulement dit que je regrettais qu'elles soient mises à toutes les sauces, tableaux, formules etc.

"Non, mais je confirme que c'est le cas," tu veux dire par là que quand on n'est plus étudiant, on sait tout ? Je veux bien te croire sur parole.

"... les étudiants soient de bêtes apprenant de par coeur (ça, tu l'as dit). " Je n'oserais jamais dire une chose pareille, et je ne le pense pas. D'ailleurs j'essaye, et je crois que j'y arrive, à respecter l'avis et les opinions des autres. Si je ne comprends pas, je pose la question et je surveille mes termes.

Mais si veux continuer à m'agresser, autant le faire par MP.

[vincentroumezy]

Je te cite: "Mais je sais bien, pour comprendre et surtout interpréter un terme, il faut connaitre le contexte, ce qui est incompatible avec le statut d'étudiant qui, par définition, apprend donc ne connait pas."
Maintiens tu toujours que tu n'oses pas le dire ?
Tu m'as également mal compris sur un autre point, je confirme que même ceux qui ne sont plus étudiants peuvent ne rien connaître.
Les matrices ne sont pas mises à toutes les sauces, elles sont utilisées là où des gens compétents ont jugées qu'elles devaient l'être.
Je ne t'agresse pas, moi, je réponds à ta mauvaise foi.

[Don vito]

Et dire que je voulais poser une autre question ! Voyons les accrochages comme ça , ça ne vous va vraiment pas , pour une matrice en plus!Ce n'est pas question de qui est ce qui a raison ou tort...c'est bien plus noble, le simple fait de discuter de mathématiques c'est vraiment un grand privilège.Je ne vais pas faire Ghandi :D, mais j’espère voir une atmosphère plus posée comme c’était le cas et je vous remercie pour vos réponses .
Quant à la connaissance , plus on connait plus on s'aperçoit que l'on ne connaissait rien.Ce qu'il y a de plus important c'est la pureté et la noblesse de l'intention qui nous nourrit notre envie de connaitre.La pire intention est de souhaiter le savoir pour la célébrité, la fortune et l'orgueil.S'engager dans une discussion pour tomber enfin dans le piège des railleries et sortir tous les canons pour voir le drapeau vainqueur avec son nom dessus.

(fin du hors sujet)

[vincentroumezy]

Les causes de perturbations atmosphériques sur ce forum sont souvent es mêmes, l'ami dis-logique.
Bref, retournons à nos discussions entre personnes sérieuses et raisonnables.

[Dlzlogic]

Je te cite: "Mais je sais bien, pour comprendre et surtout interpréter un terme, il faut connaitre le contexte, ce qui est incompatible avec le statut d'étudiant qui, par définition, apprend donc ne connait pas."
Maintiens tu toujours que tu n'oses pas le dire ?

Le statut d'un étudiant n'est pas d'apprendre, alors c'est quoi ?
D'ailleurs, je vois vraiment pas en quoi ce pourrait être une insulte. Je pleins celui qui à la fin de ses études se dit "je n'ai plus rien à apprendre".

Tu m'as également mal compris sur un autre point, je confirme que même ceux qui ne sont plus étudiants peuvent ne rien connaître.
Les matrices ne sont pas mises à toutes les sauces, elles sont utilisées là où des gens compétents ont jugées qu'elles devaient l'être.
Je ne t'agresse pas, moi, je réponds à ta mauvaise foi.

Je pense qu'on peut s'arrêter là.

Laissons Don Vito poser une nouvelle question.

[vincentroumezy]

Est ce parcqu'un étudiant apprend qu'il ne connaît pas ? Un étudiant connaît TOUT ce qu'il a étudié dans son passé.
Inutile de répéter l'évidence, l'étudiant apprend, en effet, c'est bien !