Calcuff diff

[Anonyme]

Bonjour, je bloque sur cet exercice, quelqu'un pourrait m'aider?

On donne les espaces E0 = C([0, 1]) et E1=C^1([0, 1]), munis respectivement des normes :
||f||0 = sup |f(x)|, xE[0, 1]; et ||f||1 = sup |f'(x)| + sup |f(x)|, xE[0, 1]
Soit G l'application définir par :
G: E0xR --> R
(f, x) --> f(x)

1) Montrer que G est continue sur E0xR. on pourra se servir de l'écriture :
f(x) - f0(x0) = f(x) - f0(x) + f0(x) - f0(x0)
2) Montrer que les différentielles partielles de G existent sur E1xR et les calculer en tout point (f0, x0) de E1xR
3) Prouver que G est de classe C1 partout
4) Donner la différentielle de G en tout point (f0, x0) de E1xR


Merci d'avance !

[busard_des_roseaux]

aloha,

Bonjour, je bloque sur cet exercice, quelqu'un pourrait m'aider?

oui.

Pour différentier:
i) on regarde à quel espace appartient la variable de l'application.
ça peut être , etc..

dans les trois derniers exemples, l'application est une "fonctionnelle"
et la variable est une fonction.

On doit pouvoir effectuer des additions dans le domaine de départ
et dans celui d'arrivée (dc des groupes additifs)

ii)
on détermine précisemment de quelle addition il s'agit si les groupes
additifs sont intellectuellement "compliqués":
exemple: différentier une forme bilinéaire,définie sur un espace de fonctions.
L'addition a lieu sur le produit cartésien.

ii)
on donne un accroissement à la variable, et on isole
la partie linéaire en de la quantité

que soit un nombre,un n-uplet, une fonction ou une (classe de) fonction fixé.

[busard_des_roseaux]

Soit G l'application définir par :
G: E0xR --> R
(f, x) --> f(x)
4) Donner la différentielle de G en tout point (f0, x0) de E1xR

Pour G, voilà le début de la démo:

l'image f(x) par f est interprétée comme l'image, par une application du couple (f,x)

l'addition d'un incrément (h,k) se fait donc avec l'addition du produit cartésien.
k est un réel et h une fonction faisant office d'accroissement:

Il suffit d'évaluer

en appliquant la définition, puis de soustraire

et de distinguer ce qui est linéaire relativement au couple (h,k).

Ce qui est délicat, c'est de montrer que
est un "petit o" du couple (h,k)

[busard_des_roseaux]

4) Donner la différentielle de G en tout point (f0, x0) de E1xR

On se place au point (f,x).
f,x,df(x) sont fixés.
On considère l'accroissement (h,k).
h est une fonction qui tend vers zéro en norme 1.

Le vrai suspense dans cet exercice :doh: est de voir si
f(x)= va se comporter comme un produit et si nous retrouvons
la formule de Leibnitz classique (uv)'=u'v+uv'

fonction somme




l'application
est linéaire
relativement à la variable (h,k).

si on se débarasse des notations d'espaces de Banach pour faire simple,
on obtient la différentielle



on soustraie à sa différentielle,il vient:



Le 1er terme est un o(||(h,k)||) car


Le 2ème terme est o(||(h,k)||) car f' est uniformément continue
sur le compact [0;1]
dès que k est assez petit,

[Arkhnor]

Salut.

Pour la dernière question, auparavant, on a calculé les différentielles partielles, et montré que la fonction est de classe C1, on est donc assuré que G est différentiable, et les différentielles partielles nous donnent la différentielle de G.

[busard_des_roseaux]

Salut.

Pour la dernière question, auparavant, on a calculé les différentielles partielles, et montré que la fonction est de classe C1, on est donc assuré que G est différentiable, et les différentielles partielles nous donnent la différentielle de G.

tout baigne.

est-ce que nous retrouvons
la formule de Leibnitz classique (uv)'=u'v+uv' ?

on obtient la différentielle:

Serait-ce un produit "semi-direct" au lieu d'un produit direct ? (ce n'est jamais désagréable un peu d'algèbre, en analyse :we: )