Base orthonormée

[Sarahda]

Bonsoir tout le monde

J'ai une petite question concernant une base orthonormée d'un produit scalaire.
Je connais le procédé de Graam Schmidt cependant je ne sais trop l'utiliser, j'arrive pas à trouver des excercices de cette forme ou tout du moins, il n'y a pas de corrigé..

je vous donne l'exercice :

B(x,y)= 2x_{1}y_{1}+3x_{2}y_{2}-2 x_{1}y_{2}-2x_{2}y_{1}

J'ai donc montré que c'est un produit scalaire, il faut maintenant que je trouve une base orthonormée.. Quelqu'un pourrait m'aider ?

[Ben314]

Salut,
Vu l'énoncé, je suis pas sûr que d'utiliser le procédé de Gramm-Schmidt soit bien utile : tu est uniquement en dimension 2 (où on peut facilement tout faire sans connaitre grand chose de la théorie) et en plus, Gramm-Schmidt ça demande de partir d'une base (quelconque) pour en "déduire" une orthonormée "assez proche" de celle de départ. Or, ici, on ne te donne aucune base de départ (encore qu'on pourrait prendre la base canonique) et on ne te demande pas une base "proche" de quelque chose, mais une base quelconque.

Bref, le plus simple, c'est de faire le premier truc qui vient à l'esprit, à savoir chercher un vecteur e_1 de norme 1 en prenant une solution la plus simple possible de l'équation f(e_1,e_1)=1, puis chercher un vecteur e_2 orthogonal à e_1 en écrivant l'équation f(e_1,e_2)=0 et enfin diviser e_2 par sa norme racine(f(e_2,e_2)).
Bien évidement, il y a des tonnes de solutions (vu qu'il y a des tonnes de bases orthonormées dans un e.v. euclidien).

[Sarahda]

Salut,
Vu l'énoncé, je suis pas sûr que d'utiliser le procédé de Gramm-Schmidt soit bien utile : tu est uniquement en dimension 2 (où on peut facilement tout faire sans connaitre grand chose de la théorie) et en plus, Gramm-Schmidt ça demande de partir d'une base (quelconque) pour en "déduire" une orthonormée "assez proche" de celle de départ. Or, ici, on ne te donne aucune base de départ (encore qu'on pourrait prendre la base canonique) et on ne te demande pas une base "proche" de quelque chose, mais une base quelconque.

Bref, le plus simple, c'est de faire le premier truc qui vient à l'esprit, à savoir chercher un vecteur e_1 de norme 1 en prenant une solution la plus simple possible de l'équation f(e_1,e_1)=1, puis chercher un vecteur e_2 orthogonal à e_1 en écrivant l'équation f(e_1,e_2)=0 et enfin diviser e_2 par sa norme racine(f(e_2,e_2)).
Bien évidement, il y a des tonnes de solutions (vu qu'il y a des tonnes de bases orthonormées dans un e.v. euclidien).

Merci pour ta réponse,
Si j'ai bien compris, entrouvant e1=(1,1) et du coup pour e2(1/2,0) fonctionne, n'est ce pas ?
Car e2 tel que f(e_1,e_2)=0, je trouve e2=(1,0) j'ai donc ensuite divisé par racine(f(e_2,e_2)).

[Ben314]

C'est bon, modulo que e2, c'est pas (1/2 , 0) mais (1/racine(2) , 0).
La norme d'un vecteur, c'est la racine carré du produit scalaire de ce vecteur avec lui même et, ici, f( (1,0) ; (1,0) ) ça vaut 2 donc la norme de (1,0) c'est racine(2).

[pascal16]

<x,y>=

e1(1;1) a bien une norme de 1
e2(1/2,0) a un norme de 1/√2
e2(1/√2,0) te donne une base orthonormée

Edit : grilled

[pascal16]

par Schimdt :

la base à transformer : (1;0) (0;1)
on normalise le premier vecteur -> (1/√2 ; 0), on obtient le premier vecteur de la base redressée
on cherche a tel que <a(1/√2 ; 0) + (0;1) . (1/√2 ; 0)>= 0, on a a=√2 soit comme second vecteur qu'il reste à normaliser : (1;1), il est de norme 1, c'est bon.

Le redressement ou orthonormalisation de Schimdt donne en fait ta base...