[L1] Base d'un espace vectoriel

[benekire2]

Bonjour,

J'ai encore un problème en dimension finie :

Soit f une E-forme linéaire , montrer que Ker f= Im f => f²=0 et qu'il existe une E-forme linéaire g telle que fog+gof=Id

Alors c'est assez claire que f²=0 par contre j'arrive pas a montrer l'autre. Déjà je note I le supplémentaire de Ker f dans E et j'observe que tout élément x de E se décompose de manière unique x=y+f(z) avec (y,z)€I

Et j'arrive pas a finir ...

Merci de votre aide !

[charif]

bj

une forme linéaire sur un espace vectoriel E est une application linéaire de E dans un corps K ( souvent = R ou C)

or kerf = imf ( exige que les éléments de E soient des éléments de K) ce qui n'est pas toujours vrais ( l'application trace d'une matrice est une forme linéaire sur cet espace )

je trouve ça bizarre !!

[benekire2]

Ouais j'ai dit n'importe quoi ,

En fait il s'agit d'endomorphismes linéaires, f et g doivent être des endomorphismes linéaires.


J'ai donc essayé de prouver que il existe un endomorphisme linéaire g tel que:
fog+gof=Id

donc je me suis donné un x dans E et quand j'écris cela avec x=y+f(z) comme je l'ai montré, je trouve :

fog(x)+gof(x)=fog(y)+fogof(z)+gof(y)+gofof(z)=fog(y)+fogof(z)+gof(y)

Et je n'arrive pas à montrer que cela vaut exactement y+f(z) .

[MacManus]

Bonjour.

fog(x)+gof(x)=fog(y)+fogof(z)+gof(y)+gofof(z)=fog(y)+fogof(z)+gof(y)

fog(y) + gof(y) = y
fogof(z) = (Id - gof) f(z) = f(z) - gofof(z) = f(z) (puisque f² = 0)

d'où : fog(x) + gof(x) = y + f(z)

[benekire2]

Salut macmanus, j'aimerais bien que fog(y)+gof(y)=y mais comment fais tu pour le montrer ? De même ensuite tu suppose que fog=Id-gof mais c'est ce qu'on veut montrer ...

Bref, je ne vois pas trop, tu peut m'expliquer stp ?

Merci !

[Doraki]

Soit tu sais ce que tu prends pour g et tu essayes de montrer f°g + g°f = id,
soit tu sais pas ce que tu prends pour g et tu regardes ce que f°g + g°f = id implique, et c'est ce que MacManus a l'air de faire.


Pour ta décomposition de x en y + f(z), avec y et z dans ton supplémentaire,
est-ce que les applications x -> y et x -> z sont linéaires ?

[MacManus]

Oui dans les 2 cas j'utilise le résultat, c'est pas recommandé, jsuis allé trop vite.

[benekire2]

Salut doraki, oui les appli x-->y et x-->z sont linéaires,

sinon, je vois pas a quoi ça peut servir de voir ce que implique que fog+gof=Id, puisque on veut montrer que cette appli, g, existe et pas l'inverse. Ou alors je dois délirer totalement et pas voir l'évidence ...

[Doraki]

Suppose que x est dans Ker f.
Y'a quoi comme valeurs possibles pour g(x) ?

[benekire2]

Ba, je vois pas où tu veut en venir, je ne connais rien sur g mais effectivement, j'aimerais bien que fog(x)+gof(x)=x or on suppose x dans Ker f i.e on veut ici que fog(x)=x mais bon , je vois pas pourquoi g(x) devrait être une valeur "précise" .

[Ben314]

Salut,
Déjà une petite remarque :

... Déjà je note I UN supplémentaire de ...

Ensuite, comme tout le monde te le répète, tu ne risque pas de montrer que fog+gof=Id AVANT d'avoir définie l'endomorphisme g !!!!!!!

Enfin, effectivement, il y a une multitude d'endomorphismes g qui vont vérifier cette égalité (en particulier, vu la façon dont tu est parti, le choix du suplémentaire de Ker(f) risque d'influer) et on te demande uniquement de construire UN g.
Regarde ce que doit vérifier g(x) lorsque x est dans Ker(f) puis ce qu'il doit vérifier si x est dans I et ça te donnera une idée de ce que l'on peut prendre pour g.

Remarque subsidiaire : comment montre tu que "les applications x->y et x->z sont linéaires" ?

Edit : A mon avis, une méthode assez naturelle est de partir d'une base e1,e2,...en d'un suplémentaire de Ker(f)=Im(f), d'en déduire une base de Ker(f)=Im(f). On a ainsi une base "adaptée au problème" de E et on peut regarder ce que doivent vérifier les images des éléments de cette base par l'endomorphisme g pour qu'on ait fog+gof=Id...

[benekire2]

Salut Ben ,

Effectivement c'est UN supplémentaire, je sais pas pourquoi j'ai écrit ça , mea culpa :triste:

Pour la remarque subsidiaire: soit k l'application : x -> y alors comme pour des touts scalaires u et v : ux+vx'=u(y+f(z))+v(y'+f(z'))=(uy+vy')+f(uz+vz')

donc k(ux+vx')=uy+vy' ce qui montre bien la linéarité de k.

Maintenant j'en revient au problème si x est dans Ker f alors fog(x)=x et si x est dans I (notre supplémentaire de Ker f) alors on veut que fog(x)+gof(x)=x et en fait , tant qu'a faire j'aimerais bien que pour x dans I fog(x)=0 i.e I=ker g

En gros faudrait que g soit la réciproque à droite de f pour les x de Kerf et la réciproque à gauche le reste du temps.
Ça me pose pas mal de problèmes, f n'est pas forcément bijective ...

Concernant ton edit, j'arrive pas a trouver de base de Kerf=Imf ...

[Ben314]

Bon, ta preuve du fait que x->y est linéaire est satisfaisante du fait que, lorsque l'on écrit x=y+f(z), le y est unique (pour x fixé) donc on a le droit de parler de LA application x->y (et donc de vérifier qu'elle est linéaire).
Par contre pour x->z, ça ne va pas car, vu que f n'est pas injective, le z tzl que x=y+f(z) n'est absolument pas unique donc on ne peut pas parler de LA application x->z, mais simplement de UNE des multiples application possibles x->z et, assez clairement, elles ne sont pas toutes linéaires...

C'est principalement la raison pour laquelle je te suggérais de raisonner avec des base : si on défini une application sur une base, il y a systématiquement une unique façon de la prolonger à l'espace tout entier de façon linéaire.

Bon, concernant la base, si e1,e2,...,en est une base d'un suplémentaire de Im(f)=Ker(f) alors, évidement, f(e1),f(e2),...,f(en) sont des éléments de Im(f). Cette famille est libre car... et elle engendre Im(f) car...

[benekire2]

Du coup (f(e1),f(e2),...,f(en)) est une base de Kerf=Imf mais, je ne vois pas comment je vais définir mon endomorphisme g concrètement.

Sincèrement je vois rien .. :marteau:

PS. Pour moi il faut toujours que pour x€Ker f fog(x)=x et que I=Ker g et on en trouve pas forcément de ces applications ...

[Nightmare]

Tu n'es pas allé un peu vite sur l'apprentissage de l'algèbre linéaire? Avant de parler d'applications linéaire, il faut déjà maîtriser un minimum les notions de base sur les espace vectoriels, es-tu sûr que ce soit le cas? Ne va pas trop vite en besogne...

[benekire2]

Salut nightmare :happy3:

J'étais simplement partit pour essayer de résoudre l'exo ou du moins comprendre sa résolution. Dans mon cours, les applications linéaires sont introduites très tôt. Voici l'ordre que j'ai suivi :

Ev, sev, familles libres,génératrices,bases, appli linéaires, dimension, rang,

Je ne sais pas ce que tu appelle la "base" sur les espaces vectoriels ...
Enfin cet exo est le seul qui me restait a finir sur la feuille, et jusque là j'ai pas eu de problèmes.

[Nightmare]

Sauf erreur, je crois bien que le z dans la décomposition x=y+f(z) est bien défini de manière unique et l'application g : x->z convient.

[Ben314]

Sauf erreur, je crois bien que le z dans la décomposition x=y+f(z) est bien défini de manière unique et l'application g : x->z convient.

effectivement, je n'avais pas vu que y ET z devaient être dans I...

Sinon, en continuant sur l'idée de la base e1,e2,...,en,f(e1),f(e2),...,f(en),
pour que x=f(ei) vérifie fog(x)+gof(x)=x il faut que fogof(ei)=f(ei) : on peut donc prendre par exemple g(f(ei))=ei pour que ça marche.
Ensuite, pour que x=ei vérifie fog(x)+gof(x)=x il faut que fog(ei)=0 : on peut donc prendre par exemple g(ei)=0 ou bien g(ei)=f(ei) pour que ça marche.

[houda 20]

bonsoir
alors là ça me parait évident le 2.a
remarque que t'a une famille libre, alors ta somme nulle implique que les scalaires seront automatiquement nuls.

[benekire2]

Effectivement l'appli fonctionne bien, merci nightamare !!
Et merci ben :happy3:
PS. En effet, l'application f : I --> Im f est surjective par construction (enfin quasiment par construction..) i.e elle est bijective puisque linéaire sur des espaces de même dim.