Arithmétique pour l'honneur

par **foxto** » 14 Déc 2006, 20:14

Excusez moi de vous resoliciter pour le probleme d'arithmétique suivant :

p étant premier (supérieur a 5) , montrer que

est la somme de 3 carrés ...

Depuis 2 jours ke l'on m'a posé le probleme, les moqueries fusent... AIdez moi, pour que je garde encire quelque dignité !

par **Zebulon** » 21 Déc 2006, 05:56

Bonjour,

foxto a écrit:Excusez moi de vous resoliciter pour le probleme d'arithmétique suivant :

p étant premier (supérieur a 5) , montrer que est la somme de 3 carrés ...

Depuis 2 jours ke l'on m'a posé le probleme, les moqueries fusent... AIdez moi, pour que je garde encire quelque dignité !

on a le droit à la solution triviale :

? :we:

par **c pi** » 21 Déc 2006, 11:24

Bonjour

foxto a écrit:Depuis 2 jours ke l'on m'a posé le probleme, les moqueries fusent... AIdez moi, pour que je garde encire quelque dignité !

Laisse-les se gausser
et passe dignement ton chemin, par là ! :zen:

Pour que

ne soit pas la somme de trois carrés,
il faudrait donc qu'il soit de la forme

avec

et

entiers positifs.

Or dans les conditions données

est impair
alors que

est pair.

par **fahr451** » 21 Déc 2006, 12:05

je n'ai jamais vu de preuve du théorème de lagrange sur les sommes de trois carrés;quelqu'un aurait -il un lien ?

par **yos** » 21 Déc 2006, 12:31

c pi a écrit:il faudrait donc qu'il soit de la forme
avec et entiers positifs.

Or dans les conditions données
est impair
alors que est pair.

h=0 est autorisé. Mais ici c'est pas le problème.

par **c pi** » 21 Déc 2006, 14:24

yos a écrit:h=0 est autorisé.

Cela m'avait échappé, merci ! :++:

par **BQss** » 21 Déc 2006, 21:40

c pi a écrit:Bonjour

Laisse-les se gausser
et passe dignement ton chemin, par là ! :zen:

Pour que ne soit pas la somme de trois carrés,
il faudrait donc qu'il soit de la forme
avec et entiers positifs.

Or dans les conditions données
est impair
alors que est pair.

Il faudrait donc que tu t'assures egalement qu'il n'a pas un reste de 7 dans la division par 8 si je ne m'abuse, dans le cas ou h=0, ce sont les seuls nombres impaires a exclure(15 n'est pas la somme de 3 carrés par exemple).
Mais comme 4p^2+1 a soit un reste de 1 quand p^2 est impaire soit un reste de 5 quand p^2 est paire dans la division par 8 , il n'y a pas grand chose a rajouter et c'est prouvé...
Sinon la reponse de zebulon marche tres bien de toute facon.

par **yos** » 21 Déc 2006, 21:46

Foxto avait déjà posé le problème et semblait vouloir une solution non triviale comme :

,

,
...

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