Approximation de Dirichlet

[mehdi-128]

Bonsoir,

Le dernier théorème du chapitre 2 Analyse Corps des Réles (hors programme en MPSI) est le suivant :
Soit x un réel positif. Soit N un entier supérieur ou égal à 2.
Il existe des entiers p et q tels que :
, et

Subdivisons l'intervalle en N sous intervalles où chacun des intervalles étant de longueur 1/N.
Ces N intervalles sont les tiroirs.

Considérons maintenant les N+1 réelles suivants appartenant tous à , {x} désigne la partie fractionnaire de x :

{0x} {1x} {2x} ... {jx} ... {Nx} où

Je comprends pas comment on sait que chacun de ces réels sera dans l'intervalle etc ...

Comment on sait que ces réels seront dans ces intervalles et qu'il y en aura qu'un à chaque fois sauf pour le N+1 principe des tiroirs ?

[aviateur]

Bonjour
A mon avis il manque une info sur N. Ne penses-tu pas? Quelque chose comme N={x} je n'ai pas regardé mais vérifie.

[mehdi-128]

Je viens de vérifier, j'ai rien oublié concernant N....

[Ben314]

Salut,

{0x} {1x} {2x} ... {jx} ... {Nx} où
Je comprends pas comment on sait que chacun de ces réels sera dans l'intervalle etc ...

Le problème, c'est d'avant même apprendre les maths., ça serait utile d'apprendre à lire (et à comprendre ce qu'on lit) : ce que ton papier dit, ce n'est 'est sûrement pas que chacun des réels est dans LE (article défini) intervalle etc .. mais que chacun de ces réels est dans UN DES (article indéfini) intervalles ...
Ce qui est évidement une évidence évidente (!!!) vu que par définition (de {.}) les réels en questions sont dans [0,1[ et que les intervalles etc .. forment une partition de [0,1[.

Et bien sûr, ce "UN DES" (et pas LE) ne dit absolument rien concernant la répartition des réels en question dans les différents intervalles : il n'est à priori pas exclu qu'ils soient tous dans le même intervalle. Par contre, la déduction concon qu'on peut faire, c'est que, vu que le nombre (N) d'intervalle est strictement plus petit que le nombre (N+1) de réels, ben y'a forcément au moins un des intervalles qui contient strictement plus d'un des réels :
Il existe distincts et tels que et soient dans le même .
Donc et vu que et avec , cela signifie que c'est à dire que avec et .

[aviateur]

Bonjour
Il y a quelque chose qui m'échappe ou bien je n'ai pas compris l'énoncé. L'énoncé est-il bien formulé? D'ailleurs c'est quoi la question?
x est un nombre réel. N un entier plus grand ou égal à 2. A priori je n'ai pas vu dans l'énoncé de lien entre N et x.
Si N=2 les deux intervalles sont [0,1/2[ et [1/2,1[.
{0x}=0 {1x}= {x} peut être plus grand que 1, {2x} aussi.... ??,

[Ben314]

{x}, ici, ça désigne la "partie fractionnaire" de x, c'est à dire x-E(x) où E(x) est la partie entière de x.
Donc par définition même (de la partie entière), quelque soit le réel x, {x} est dans [0,1[
Si tu prend et alors






et sont dans le même intervalle donc et on en déduit que : p=7 et q=4.

[mehdi-128]

Salut,

{0x} {1x} {2x} ... {jx} ... {Nx} où
Je comprends pas comment on sait que chacun de ces réels sera dans l'intervalle etc ...

Le problème, c'est d'avant même apprendre les maths., ça serait utile d'apprendre à lire (et à comprendre ce qu'on lit) : ce que ton papier dit, ce n'est 'est sûrement pas que chacun des réels est dans LE (article défini) intervalle etc .. mais que chacun de ces réels est dans UN DES (article indéfini) intervalles ...
Ce qui est évidement une évidence évidente (!!!) vu que par définition (de {.}) les réels en questions sont dans [0,1[ et que les intervalles etc .. forment une partition de [0,1[.

Et bien sûr, ce "UN DES" (et pas LE) ne dit absolument rien concernant la répartition des réels en question dans les différents intervalles : il n'est à priori pas exclu qu'ils soient tous dans le même intervalle. Par contre, la déduction concon qu'on peut faire, c'est que, vu que le nombre (N) d'intervalle est strictement plus petit que le nombre (N+1) de réels, ben y'a forcément au moins un des intervalles qui contient strictement plus d'un des réels :
Il existe distincts et tels que et soient dans le même .
Donc et vu que et avec , cela signifie que c'est à dire que avec et .

Ah merci j'avais pas vu la nuance.

C'est parce que l'auteur avait fait un dessin représentant tous chacun de ces réels dans un intervalle distinct sauf 2 réels qu'il a mis dans le même intervalle !

[mehdi-128]

@Ben

J'ai une petite question.

et

Posons :
Comme j est différent de j' il est évident que

Posons : car la partie entière est une fonction croissante donc

Maintenant je n'arrive pas à montrer que :

[mehdi-128]

Je pense avoir trouvé :




Donc :

Or : car et E(x) est une fonction croissante finalement :

Donc :

Par conséquent :

Donc :

Comme on obtient

Mais :

Finalement :

[aviateur]

Excusez moi j'ai mal lu. Effectivement j'ai cru que c'était partie entière. J'étais mal réveillé!