Applications linéaires

[sim077]

Bonsoir,

J'ai deux petites questions.
1. Je ne vois pas pourquoi :
(4,1,3)

2.

et pourquoi Ker(f)=K^3 ?

Pouvez-vous m'apporter une réponse ?

[Robic]

Pour la première question, qu'est-ce que tu as essayé ? Ça ne se voit pas à l'oeil nu, il faut utiliser la définition (par exemple). C'est quoi au fait la définition ? En tout cas c'est très simple à vérifier.

Pour la deuxième question, c'est tellement simple que je soupçonne que tu ne connais pas bien le cours. (Car il suffit de l'appliquer bêtement.) C'est quoi Ker(f) ? Écris la définition et la solution tombera immédiatement. Ou alors tu n'as pas remarqué que la matrice était très spéciale ?

Si tu suis un cours, je te conseille de le revoir et de revoir les exercices basiques avant d'essayer toi même des exercices.

[sim077]

Pour la première question, qu'est-ce que tu as essayé ? Ça ne se voit pas à l'oeil nu, il faut utiliser la définition (par exemple). C'est quoi au fait la définition ? En tout cas c'est très simple à vérifier.

Pour la deuxième question, c'est tellement simple que je soupçonne que tu ne connais pas bien le cours. (Car il suffit de l'appliquer bêtement.) C'est quoi Ker(f) ? Écris la définition et la solution tombera immédiatement. Ou alors tu n'as pas remarqué que la matrice était très spéciale ?

Si tu suis un cours, je te conseille de le revoir et de revoir les exercices basiques avant d'essayer toi même des exercices.

Ce ne sont pas des exercices mais des remarques dans un cours que je ne comprends pas.
Pour la deux, je pense voir les choses. Mais pour la 1 je ne vois pas la définition, il faut trouver l'équation d'un plan?

[Luc]

Ce ne sont pas des exercices mais des remarques dans un cours que je ne comprends pas.
Pour la deux, je pense voir les choses. Mais pour la 1 je ne vois pas la définition, il faut trouver l'équation d'un plan?

Pour la 1 : tu as une équation paramétrique du plan vectoriel en question. En effet, tu en as une base constituée de deux vecteurs, u et v. Dire que le vecteur (4 1 3) appartient à ce plan, c'est juste par définition dire qu'il existe deux réels a et b tels que (4 1 3)=au+bv.
Pour autant, tu n'as pas besoin ici d'équation cartésienne de ce plan, si c'était ce que tu demandais. Mais c'est un bon exercice d'en trouver une à partir de l'équation paramétrique, sais-tu comment faire?
Indice : pense au produit vectoriel.

[sim077]

Pour la 1 : tu as une équation paramétrique du plan vectoriel en question. En effet, tu en as une base constituée de deux vecteurs, u et v. Dire que le vecteur (4 1 3) appartient à ce plan, c'est juste par définition dire qu'il existe deux réels a et b tels que (4 1 3)=au+bv.
Pour autant, tu n'as pas besoin ici d'équation cartésienne de ce plan, si c'était ce que tu demandais. Mais c'est un bon exercice d'en trouver une à partir de l'équation paramétrique, sais-tu comment faire?
Indice : pense au produit vectoriel.

Merci. Pouvez-vous m'indiquer ou puis-je retrouver la définition, quel chapitre en lycée?

D’après mes souvenirs,
Si on note
A (4,1,3), B(1,0,1) et C(1,1,0)
un vecteur normal de (ABC) est (3,-6,-3), produit scalaire de vec(AB) par vec(AC)
et une équation (ABC) est donnée par :
3(x-4)-6(y-1)-3(z-3)=0
après simplification x-3y-z+1=0

[Robic]

Ah, tu n'as pas les définitions ? Effectivement, ça explique que tu bloques.

1) Le vecteur (4, 1, 3) appartient à Vect(u, v) si et seulement s'il existe deux constantes a et b telles que (4, 1, 3) = au + bv. Cette dernière ligne donne un système de trois équations à deux inconnues (a et b) qui se résout très facilement. Il faut juste vérifier que les trois équations sont compatibles : on a déterminé a et b à l'aide de seulement deux équations, mais il faut vérifier qu'ils sont solutions de la troisième - si ce n'est pas le cas, c'est que le vecteur (4, 1, 3) n'appartient pas à Vect(u, v).

2) Ker(f) est l'ensemble des vecteurs de l'ensemble de départ (ici K^n) dont l'image est le vecteur nul. Ici, f est une application très particulière : c'est l'application nulle. Quels sont les x tels que f(x) = 0 ? (Facile !)

Pour l'équation du plan, tu voulais sans doute parler de produit vectoriel, pas scalaire. J'ai trouvé comme vecteur normal (3, -3, -3), donc l'un de nous deux à dû se tromper... En tout cas ta méthode est juste.

[sim077]

Ah, tu n'as pas les définitions ? Effectivement, ça explique que tu bloques.

1) Le vecteur (4, 1, 3) appartient à Vect(u, v) si et seulement s'il existe deux constantes a et b telles que (4, 1, 3) = au + bv. Cette dernière ligne donne un système de trois équations à deux inconnues (a et b) qui se résout très facilement. Il faut juste vérifier que les trois équations sont compatibles : on a déterminé a et b à l'aide de seulement deux équations, mais il faut vérifier qu'ils sont solutions de la troisième - si ce n'est pas le cas, c'est que le vecteur (4, 1, 3) n'appartient pas à Vect(u, v).

2) Ker(f) est l'ensemble des vecteurs de l'ensemble de départ (ici K^n) dont l'image est le vecteur nul. Ici, f est une application très particulière : c'est l'application nulle. Quels sont les x tels que f(x) = 0 ? (Facile !)

Pour l'équation du plan, tu voulais sans doute parler de produit vectoriel, pas scalaire. J'ai trouvé comme vecteur normal (3, -3, -3), donc l'un de nous deux à dû se tromper... En tout cas ta méthode est juste.

Merci pour ces compléments.
Effectivement, j'ai fait des erreurs, c'est bien (3,-3,-3) et l'équation est x-y-z=0.
Pour la 2, les x tels que f(x)=0 sont le vecteur nul ?

[Robic]

Pour la 2, les x tels que f(x)=0 sont le vecteur nul ?

Non, c'est encore plus simple ! Si tu ne vois pas le truc, essaie avec des vecteurs au hasard. Par exemple (2, 1, 3), c'est quoi son image ? Si c'est (0, 0, 0) alors (2, 1, 3) fait partie du noyau.