Applications linéaires

[Marion1]

Bonjour, j'ai un petit souci sur un exercice, je me permet de vous demander de l'aide... Voici l'énoncé :

E Kev de dimension finie, f endormophisme tel que et , , je dois montrer que E1 et en somme directe avec E2 et déterminer l'expression sur projecteur p1 (sur E1 parallèlement à E2) et p2 (sur E2 parallèlement à E1) en fonction de f.

Je ne vois absolument pas comment faire, j'ai essayé de montrer la somme directe de plusieurs façons mais aucune n'aboutit !

Merci pour vos conseils

[Joker62]

Bonjour.

Quel niveau tu as ?

[Nightmare]

Salut !

1) Tu peux remarquer que équivaut à , d'où le fait qu'on introduise E1 et E2.

2) Ensuite, ce qui est important aussi (pour une généralisation), c'est que les polynômes X-1 et X-2 sont premiers entre eux, en particulier, on a .

Du coup, si l'on se fixe x dans E, on peut écrire que qui est bien dans . Reste à montrer que la somme est directe, c'est à dire que E1 et E2 sont disjoints. Je te laisse essayer.

[skilveg]

Disjoints, Nightmare? ;)

[Joker62]

On peut pas lui reprocher avec le beau ptit post qu'il nous a mis.

On va dire qu'il était distrait lol

[Nightmare]

Disjoint au 0 près :D

[Marion1]

Bonjour à vous,

Je suis en sup ;)

Nightmare, c'est vraiment clair, merci beaucoup. J'avais essayé de faire apparaître cette forme de x, mais bon, sans succès !

Donc pour montrer que l'intersection est nul, c'est pas dur :
Soit X de E1, alors f(X)=X, soit X de E2, alors f(X)=2X d'où 2X=X, ie X=0... :)

Par contre pour les projecteurs, je ne vois pas trop, pouvez vous me donner une petite indication ?

;)

[alavacommejetepousse]

bonjour

tite remarque de rédaction


si tu dis "soit X dans E1 et soit X dans E2 " alors a priori ce ne sont pas les mêmes X et donc il faudrait prendre X et X'

toi tu prends un X ds E1 et E2 donc " soit X dans E1 et E2" ...