Application suites réelles

[Kyg]

Bonsoir,

Voilà mon problème :

Soit l'ev des suites réelles. Soit qui à une suite associe la suite avec

J'ai démontré que était une application linéaire.
J'ai ensuite trouvé que et
Je dois maintenant calculer (où ) ainsi que sa dimension.
Seulement je n'arrive pas trop à visualiser à quoi correspond . Est-ce qu'on peut dire que ? Si oui comment en trouver son noyau ?

Merci

[samoufar]

Bonsoir,
Tu peux montrer par récurrence que pour tout , associe à la suite la suite définie par .

Ensuite pour trouver le noyau, en reprenant les notations ci-dessus, tu veux que soit la suite nulle. Donc tu veux que les termes de la suite à partir du soient tous nuls. Donc les seuls "degrés de liberté" pour la suite sont ses premiers termes (puisque tu indexes à partir de ).

Comment générer l'ensemble des suites dont les premiers termes sont quelconques et dont les autres sont nuls ? (inspires-toi du cas particulier que tu as déjà traité)

[Kyg]

Merci pour cette réponse, j'ai effectué les mêmes étapes que pour le cas mais je reste bloquée ensuite...

[samoufar]

Bonjour,

Je te donne une petite indication qui complète mon message précédent :

est l'ensemble des suites nulles à partir du terme d'indice (à montrer, mais ça marche tout seul).
Par conséquent, , où le "" désigne une base de l'ensemble des suites nulles à partir du terme d'indice (à déterminer).

Tu as déjà déterminé une telle base pour , il te reste à généraliser

[Kyg]

Du coup est-ce que ça peut être (où le troisième est le élément) ?

[samoufar]

Bonjour,

Attention à ce que tu as écrit

D'abord tu dois aller jusqu'au élément (si tu commences avec , alors est le élément).

Ensuite, avec ce noyau, tu considères uniquement les suites de la forme . Pourtant la suite est bien dans le noyau, non ?

Pour te donner une piste supplémentaire, tu peux voir ta suite comme un vecteur de (les zéros qui viennent après importent peu). Pour être un peu plus pompeux, ton espace est isomorphe à Est-ce que tu connais une base de que tu peux "adapter un peu pour en faire une famille de suites". Si oui, vérifies que tu obtiens bien une base