Application de la formule de Parseval en analyse complexe

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kruibeke
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Application de la formule de Parseval en analyse complexe

par kruibeke » 27 Mai 2020, 19:11

Bonjour,

Je cherche à établir la formule suivante :
Soit ouvert connexe de , soit holomorphe sur , soit et soit tel que .
Alors, .

On suppose connues les formules de Cauchy pour les dérivées successives, à savoir .
On me suggère par ailleurs dans l'énoncé d'utiliser l'égalité de Parseval.
J'ai donc écrit ceci :
est l'espace de Hilbert des fonctions -périodiques telles que , muni du produit scalaire .
On sait que est une base hilbertienne de .
Donc, par Parseval,
Or, pour , (formules de Cauchy).

Et là, je suis un peu bloqué...
En supposant que pour , , on obtient le résultat voulu.
Mais je ne sais pas comment prouver cette dernière assertion...

Pourriez-vous m'aider svp ?

Merci d'avance.



kruibeke
Messages: 5
Enregistré le: 27 Avr 2020, 16:04

Re: Application de la formule de Parseval en analyse complex

par kruibeke » 29 Mai 2020, 12:36

Personne ne voit non plus où est le problème dans mon raisonnement ?

Doraki
Habitué(e)
Messages: 4987
Enregistré le: 20 Aoû 2008, 13:07

Re: Application de la formule de Parseval en analyse complex

par Doraki » 30 Mai 2020, 14:38

Bonjour, il n'y a pas de problème dans ton raisonnement.

En analyse complexe, c'est plutôt courant que des intégrales sur des cercles soient nulles, donc c'est sûrement en rapport avec le fait que f soit holomorphe sur U

 

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