Application affine

[Ncdk]

Bonjour,

Soit l'application définie par :



1- Montrer que f est une application affine et exprimer la matrice de sa partie linéaire
2- Montrer que f est une isométrie, est-elle directe ou indirecte ?
3- Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de l (=partie linéaire de f)
4- Déterminer l'ensemble des points fixes de f.
5- Montrer qu'on peut écrire f = t o r = r o t, où t est une translation et r une rotation. Cette écriture est-elle unique ?

1- C'est fait
2- Je sais pas comment prouver que c'est une isométrie, je pensais au déterminant de la matrice de la partie linéaire de f, dire s'il est différent de 0 ou pas.
3- J'ai un soucis mais je trouve que le polynôme caractéristique c'est
Si quelqu'un pouvait vérifier car j'ai juste 4 comme valeur propre, c'est gênant surtout que je dois déterminer LES valeurs propres

[Robot]

C'est quoi, la définition d'une isométrie affine ?
Tu as une erreur dans le polynôme caractéristique (d'ailleurs le polynôme caractéristique a comme coefficient dominant1 ou -1 (suivant les définitions). Toi, tu trouves -1/64 !

[Ben314]

Salut,
Si tu as nulle part dans ton cours de définition de ce qu'est une isométrie, alors... fait un autre exercice...
Et si tu as une définition, ben commence par aller regarder ce qu'elle dit (qui n'est surement pas lié au déterminant de la matrice en question)

Sinon, le polynôme caractéristique de ta matrice, c'est forcément pas ça vu que les valeurs propres complexes d'une isométrie sont forcément de module égal à 1 alors que 4 n'est pas franchement de module égal à 1.
De plus, en dimension impaire, il y a forcément une valeur propre réelle qui, vu qu'elle doit être de module égale à 1, ne peut être que +1 ou -1.

[Ncdk]

Une isométrie affine c'est pas une application bijective qui conserve les distances ?

C'est bien ce qui me semblait, je l'ai refait deux fois, je vais encore le refaire, je dois faire deux fois la même erreur je crois

Je me trompe peut-être dans la matrice de départ, celle de l'application linéaire de f :

[Ben314]

Une isométrie affine c'est pas une application bijective qui conserve les distances ?

C'est bien ça et... je vois pas vraiment le rapport avec ce que tu as écrit au dessus concernant le déterminant de la matrice...

Je me trompe peut-être dans la matrice de départ, celle de l'application linéaire de f :

C'est la bonne matrice, mais il semblerais bien que, dans ton calcul, tu ait jeté à la poubelle le situé devant les parenthèses...

[Ncdk]

Ah oui, je fais peut-être une erreur, pour déterminer qu'une application est bijective, cela revient pas à calculer le déterminant de la matrice associé à l'application en veillant que notre application soit un endomorphisme ?
Du coup s'il est différent de 0, c'est gagné non ? notre application est bijective ?

Non il est pas à la poubelle, quand on passe au déterminant il se transforme en

[chan79]

Une isométrie affine c'est pas une application bijective qui conserve les distances ?

C'est bien ce qui me semblait, je l'ai refait deux fois, je vais encore le refaire, je dois faire deux fois la même erreur je crois

Je me trompe peut-être dans la matrice de départ, celle de l'application linéaire de f :

salut
Sûr des signes devant les ?

[Ncdk]

Oui pas d'erreur de recopiage

[Ben314]

Du coup s'il est différent de 0, c'est gagné non ? notre application est bijective ?

Effectivement, mais c'est franchement pas le truc qui me serait venu à l'esprit vu que, dans le contexte, ça ne sert quasiment à rien : une application qui conserve les distances est trivialement injective donc si elle est linéaire entre deux e.v. de même dimension, elle est forcément bijective.
Bref, le coté "bijectif" de la définition, c'est vraiment pas ça le truc important (en tout cas pas en dimension finie).

[Ben314]

Entre ça :

et ça :

Il y a effectivement des erreurs de signe quelque part.

[Robot]

Tu es sûr que tu n'as pas dans ton cours une caractérisation des isométries affines avec une propriété de leur partie linéaire ? Les matrices des isométries linéaires dans une bon, c'est quoi ?

[Ncdk]

@Ben : Pourtant tu m'as dis que c'était la bonne matrice, je comprends pas. Donc du coup ça l'est pas

@Robot : J'aurai bien voulu mais quasi pas de rappelle, juste la définition d'une isométrie avec f:E->F une application linéaire et si : ||f(u)||=||u||

[Robot]

D'accord, il n'y a pas de matrice orthogonale dans ton cours ...

[Ncdk]

Non mais il y a des problèmes sur ce cours, il nous manque trop de choses du coup on regarde sur des bouquins et c'est le chargé de TD qui est obligé de faire le cours, donc on est pas revenu sur les notions déjà vu.

[Robot]

Donc tu ne sais pas ce qu'est une matrice orthogonale ?

[Ncdk]

Si je sais, elles vérifient non ?

Concernant la matrice du coup je l'ai mal exprimé et puis comme j'ai calculé le déterminant et qu'il valait 1, je pensais que j'étais sur la bonne voie.

Je vais faire les calculs avec la bonne matrice

EDIT : Je comprends pas, toujours le même polynôme caractéristique, vous êtes sur que vous trouvez pas comme moi, c'est peut-être une erreur de signe dans l'énoncé non ?

[Robot]

Sûrs et certains, et on t'a expliqué pourquoi ton résultat était forcément faux.

[Ncdk]

La matrice c'est :



et le polynôme caractéristique je retrouve le même, j'ai fait 5 fois le calcul, je suis pas fou quand même
Enfin maintenant si car j'avais pas à trouver mon erreur...

[Ben314]

[Ncdk]

Merci, j'ai vu l'erreur, en fait ça servait à rien que je refasse le calcul c'était bien avant

Je posterai la suite demain, j'ai souvent le problème des dernières questions, je sais pas trop comment m'y prendre en fait, ni comment prouver s'il y a unicité ou pas