Application affine

[MacManus]

Bonjour

J'ai quelques petits problèmes pour cet enoncé :

Le plan est muni de sa structure affine euclidienne standard.
On considère l’application f : ;);) définie en coordonnées par :
f(x, y) = (x;), y;)) avec x;) = 7x + 9y + 3 et y;) = 4x 5y 2.

1. Quels sont les points fixes de f ?
2. Déterminer les valeurs propres et sous-espaces propres de f ainsi que les translations
qui commutent avec f.
3. Quelles sont les droites affines globalement invariantes par f ?

-----------------
1. j'ai fais f(x,y) = (x,y) et j'obtiens l'équation d'une droite : 2x+3y+1=0.
un point de la droite est par exemple (0,-1/3) et dirigée par le vecteur (-3,2)
Cette droite représente-t-elle l'ensemble de mes points fixes?

2. La partie linéaire correspond à la matrice A =
det(A) = 1
son polynôme caractéristique est :
donc 1 est une valeur propre d'ordre de multiplicité 2. (1 spectre( : ce qui justifierai que f n'a pas un unique point fixe (d'après 1.) ???)
l'espace propre associé à 1 est donc )= Vect[(1,-2/3)]
or dim() = 2 dim() = 1
donc f n'est pas diagonalisable ?

C'est embêtant !

Je sais qu'une application affine f et une translation de vecteur commuttent ssi
or le vecteur (3 ,-2)

donc toutes les translations de vecteurs colinéaires au vecteur (3,-2) commuttent avec l'application f ???

3. pas vraiment d'idée ....

Merci beaucoup pour votre aide !

[mathelot]

bjr,

si les applications affines f et T commutent,
si M est point fixe

tof(M)=fot(M)
t(M)=fot(M)
d'où T(M) est aussi point fixe.

résultat des courses:
si T commute avec f, T translate dans la direction de la droite (affine)
des points fixes.

réciproquement, si T translate selon la direction de (D)
droite affine des points fixes,
on choisit un point A sur cette droite,


car A est point fixe.


mais t(A) est point fixe par hypothèse

d'où fot=tof

d'où l'équivalence.


3. Les droites affines globalement invariantes sont exactement celles parallèles à la droite des points fixes.

[MacManus]

D'accord je comprends ta démonstration.
pour la question 1) --> il s'agit bien d'une droite (D)
Donc la droite (D) des points fixes est invariante par f.

Mais comment caractériser f :we: ??

je bloc sur la diagonalisation de A
car (points fixes) + (commutativité) supposent qu'il y ait une somme directe d'espaces propres non ?? Je me suis peut être égaré dans les calcus mais je ne trouve que E1 de dim 1....

merci !

[mathelot]

il ne demande pas de caractériser f ?
ce qui est sûr:


(direction de la droite affine des points fixes)

[MacManus]

OK merci mathelot pour tes explications!