L3 maths - Application affine

[Nanana]

Bonsoir :happy2:
Voilà j'ai un petit soucis quant à la rédaction et surtout la justification dans un exercice Voilà l'énoncé:

On considère la transformation de l'espace affine euclidien R^3 dans lui-même :




avec




1) Dire pourquoi f est une application affine et donner

Voilà ce que j'ai mis:
f est une application affine car le système qui la définit est de la forme X'=AX+Xo avec X=(x;y;z) Xo=(1;1;3) et A=la matrice

Pour donner j'ai juste dit qu'elle était représentée par la matrice A


Est-ce vraiment la bonne justification? Dois-je rajouter le fait que la matrice est inversible ? Ainsi cela définit une bijection ?

2) On considère la matrice A et on veut montrer qu'elle appartient à SO(3) puis il faut montrer que Ker(A-Id) est engendré par le vecteur (1;1;3)

Ici pour montrer que j'ai calculé le déterminant qui vaut 1.
Pour la seconde question, j'ai procédé ainsi :
ssi il est solution du système Hop on résoud et on trouve x=1 y=1 et z=3
Là, normalement ça doit pas poser de pb ( enfin j'espère :euh: )

3) Montrer que la droite D passant par l'origine et dirigée par est globalement stable par f. En déduire la nature de f.

Là petit soucis. J'ai montré que A = Mais est-ce vraiment ça qui est demandé ? Est-ce suffisant ?
Apparemment, la correction parle de f(0) puis de (0;f(0)) Alors je ne sais pas si ce que j'ai écrit est réellement ce qui était demandé :euh:

Pour la nature de f, hésitation... Puis-je parler de suite de rotation d'axe orienté ?

4) Calculer la trace de A. En déduire que est une rotation d'axe orienté par dont l'angle est = +/- Arccos(-)

Alors comme on a vu que A représentait une rotation dans l'espace de dimension 3 on peut dire qu'elle est de la forme

ainsi sa trace est tr(A)=2cos+1 mais c'est aussi tr(A)=-2/3

Ainsi on a l'angle et on peut donc arriver à la conclusion donnée

Voilà je me demande donc si mes réponses sont réellement correctes et suffisantes pour répondre aux différentes questions posées.

Merci de votre aide et éventuellement de vos remarques :we:

[yos]

1) Dire pourquoi f est une application affine et donner

Voilà ce que j'ai mis:
f est une application affine car le système qui la définit est de la forme X'=AX+Xo avec X=(x;y;z) Xo=(1;1;3) et A=la matrice

Pour donner j'ai juste dit qu'elle était représentée par la matrice A


Est-ce vraiment la bonne justification? Dois-je rajouter le fait que la matrice est inversible ? Ainsi cela définit une bijection ?

C'est suffisant. Sinon on demanderait "transformation affine".

2) On considère la matrice A et on veut montrer qu'elle appartient à SO(3) puis il faut montrer que Ker(A-Id) est engendré par le vecteur (1;1;3)

Ici pour montrer que j'ai calculé le déterminant qui vaut 1.

Ca ne suffit pas. Il faut aussi que

3) Montrer que la droite D passant par l'origine et dirigée par est globalement stable par f. En déduire la nature de f.

Là petit soucis. J'ai montré que A = Mais est-ce vraiment ça qui est demandé ? Est-ce suffisant ?

Non ici il faut travailler avec f et pas . On prend un point de la droite et on montre que son image M' =f(M) est sur la droite.

Pour la nature de f, hésitation... Puis-je parler de suite de rotation d'axe orienté ?

Vissage plutôt.

[Nanana]

C'est suffisant. Sinon on demanderait "transformation affine".

Ce n'est pas le cas en effet mais si ça l'avait été qu'aurais-je dû rajouter stp?

Ca ne suffit pas. Il faut aussi que

En fait j'avais montré que la matrice était orthogonale dès la 1ère question j'avais oublié de le mentionner désolée...

Pour la 3ème question, je calcule les coordonnées de M' =f(M)ce qui donne x'=t+1 y'=t+1 et z'=3t+3 On a bien x'=y' et z'=3x' donc M'D Donc ceci permet de déduire que D est stable par f c'est bien ça ? Dois-je également vérifier la stabilité avec l'origine ou n'est-ce pas nécessaire ?

En ce qui concerne le vissage dans l'énoncé on parle de rotation d'axe orienté donc il est peut-être préférable de lui donner raison nan ? :lol2:

Merci de ton aide en tout cas :++:

[yos]

Transformation affine= application affine bijective.
Il n'y a pas de raison de mettre l'origine à part (elle correspond à t=0).
Pour la nature de f, je parie sur un vissage (le cas le plus général de déplacement de l'espace) sans avoir fait les calculs. C'est à cause de cette droite globalement invariante et non invariante point par point. La restriction de f à cette droite est une translation. Dans le cas d'une rotation de l'espace, ça ne peut pas se produire. D'ailleurs si c'était une rotation, son axe serait formé de points fixes de f et ici tu peux vérifier qu'il n'y a pas de point fixe. Par contre l'application linéaire associée est une rotation vectorielle (d'axe orienté ). Et son angle est l'angle du vissage. Au fait tu sais ce qu'est un vissage?

[Nanana]

Le vissage c'est une rotation suivie d'une translation il me semble ?!

Merci de ton aide j'y vois plus clair grâce à toi C'était le mélange entre f et :mur: