Matrice d'une application affine

[renard20072007]

A quelle application affine correspond la matrice de la partie linéaire suivante ?
( 1 0 0 )
( 0 -3 0 )
( 0 0 -3 )

Je sais que f est bijective et que les points invariants ont pour coordonnée:
M(t-1, -t-1 ,3t)

Aider-moi SVP :mur:

[aviateurpilot]

je pense que l'ensemble des points invariants sauf erreur.

[renard20072007]

J'ai vérifié à la calculette: j'ai raison.
A titre indictif, je sais que f a pour expression analytique:
x'=-4x-2y+z-7
y'=x-y-z-1
z'=-3x-6y-9

[cesar]

A quelle application affine correspond la matrice de la partie linéaire suivante ?
( 1 0 0 )
( 0 -3 0 )
( 0 0 -3 )

Je sais que f est bijective et que les points invariants ont pour coordonnée:
M(t-1, -t-1 ,3t)

Aider-moi SVP :mur:

au niveau vectoriel pur (donc pas affine..)
le premier vecteur est invariant (coef = 1) et la droite qu'il porte aussi
les deux autres ont le meme coef = -3 : c'est la composée d'une symetrie par rapport à l'axe du premier vecteur ou encore d'une rotation d'angle Pi et d'une homothétie... donc une simitude du plan perpendiculaire au vecteur invariant...

[renard20072007]

je ne sais pas l'expression matricielle de la partie linéaire d'une symétrie, dans le cas général ! :cry:

[renard20072007]

Je rappelle As=
( 1 0 0 )
( 0 -3 0 )
( 0 0 -3 )

est-ce que l'application laisse x inchangée et transforme le couple (y,z) en une homothétie de rapport (-3) ?

[renard20072007]

Soit e espace affine de dim 3 muni d'1 repère cartésien R.
Soit f l'application définie par l'expression analytique:
x'=-4x-2y+z-7
y'=x-y-z-1
z'=-3x-6y-9

1) Vérifier que f est 1 bij de e sur e:

:we: J'ai montré que f est affine en calculant le déterminant de sa matrice représentant sa partie linéaire qui était égal à 9 dc différent de 0.

2) Montrer que f admet une droite de pts fixes que l'on note D:

:we: En partant de M appartient à Inv(f) et en résolvant le syst ci-dessus en remplacant x',y',z' par x,y,z, j'ai montré que les points invariants étaient
M(T-1, -T-1, 3T), formant ainsi une droite dans un espace de dim 3.

3) Déterminer les valeurs propres de la partie linéaire L(f), ainsi que ses sous-espaces propres vectoriels. Doner une base de vecteurs propres et préciser la matrice de L(f) ds cette base:

:we: La matrice en question est: A =
( -4 -2 1 )
( 1 -1 -1 )
( -3 -6 0 )

En résolvant det(A_X*I3)=0, j'ai trouvé comme valeurs propres lam1=1 et
lam2 = -3
(en effet -(X-1)(X+3)^2=0)

Elam1 = { (T,-T,3T) / T appartient à IR }
Donc u1=(1,-1,3) forme une base de Elam1.

Elam2 = { (-2T+S, T ,S) / T,S appartiennent à IR }
Donc u2=(-2,1,0) et u3=(1,0,1) forment une base de Elam2

En résolvant le syst svt pour u1,u2,u3:
x'=-4x-2y+z
y'=x-y-z
z'=-3x-6y
Il advient que f(u1)=u1, f(u2)=-3*u2 et f(u3)=-3*u3
Dc la matrice semblable est As =
( 1 0 0 )
( 0 -3 0 )
( 0 0 -3 )

4) Préciser la nature de f et ses éléments:

:mur: Je ne sais pas trop quoi penser de cette matrice semblable.
A mon avis l'application laisse le x inchangé, et réalise une homothétie de rapport -3 pour les coordonnées (y,z) de centre K(-7,-1,-9)

5) Déterminer f-1 en précisant ses éléments