Géométrie affine : application affine

[LauraLe]

Bonjours à tous !

Je suis en pleine révision et il y a une question d'un exercice que je ne comprends vraiment pas ... . En effet, notre cours est assez mince et je ne comprends pas comment mon professeur a fait.
C'est la question (d). Pour éviter que vous perdez votre temps, je vous ai mis toutes les réponses des questions précédentes qui peuvent être en lien pour la réponse de la question d). (liens ci-dessous)


https://i.ibb.co/5KF2zPf/IMG-8177.jpg (lien énoncé)
https://i.ibb.co/ZTLVJg0/IMG-8174.jpg (lien réponse des questions a) et début b) )
https://i.ibb.co/sWKBfvz/IMG-8175.jpg (lien réponse des questions fin b et c) )
https://i.ibb.co/qRPyzD5/IMG-8176.jpg (lien réponse question d) celle qui me pose problème)

En fait, je ne comprends pas la "méthode" qu'on a voulu appliquer :
1) pourquoi on pose le vect(k) = Ker(f)
2) comment on passe de [k,r,s des vecteurs] f(m) = f(Ω) + M (λk + µr + νs) = f(Ω) + µr + νs

Je vous remercie d'avance pour les réponses que vous allez m'apporter et je vous souhaite une bonne soirée !

[GaBuZoMeu]

J'ai juste jeté un oeil sur l'énoncé.
La question b dit que f est un projecteur sur son image, qui est l'ensemble des points fixes (à déterminer en question c). Il reste dans la question d à expliciter le sous-espace vectoriel parallèlement auquel on projette, c'est le noyau de l'application linéaire associée à f.

[LauraLe]

La question b dit que f est un projecteur sur son image, qui est l'ensemble des points fixes (à déterminer en question c).

Je suis totalement d'accord, donc cela veut dire qu'on sait déjà que f est la projection affine sur P (plan des points fixes de f question c) ) .

Mais je ne comprends pas quand vous dites :

Il reste dans la question d à expliciter le sous-espace vectoriel parallèlement auquel on projette

Faites-vous référence à une définition ? Propriété ?
En effet, j'ai remarqué que dans la plupart des exercices similaires pour décrire f on disait souvent que f est la projection (ou parfois la symétrie) affine sur P (ensemble des points fixes) parallèlement à un vecteur.
Mais dans mon cours je ne vois pas où cela est dit ...

De plus :

c'est le noyau de l'application linéaire associée à f

Pourquoi, est-ce toujours le cas ?

Je vous remercie de votre réponse !

[GaBuZoMeu]

on sait déjà que f est la projection affine sur P (plan des points fixes de f question c) ) .

Ça ne suffit absolument pas à décrire cette application !!!
Prenons un exemple , celui de deux projections différentes de sur le plan . la première est la projection et la deuxième la projection . Tu es bien d'accord qu'il s'agit de deux projections sur le plan ? Et tu es bien d'accord qu'elles sont différentes ?
La première projection se fait parallèlement au vecteur (projection "verticale"). Ceci veut dire que pour tout point , le vecteur appartient à la droite vectorielle engendrée par . Ceci équivaut à dire que le noyau de l'application linéaire associée à est cette droite vectorielle ; je te laisse faire la démonstration de l'équivalence.
Dire que est la projection sur le plan parallèlement au vecteur caractérise entièrement . En effet, pour tout point , est le point d'intersection du plan avec la droite passant par et parallèle au vecteur .
Tu peux caractériser la projection donnée plus haut comme étant la projection sur le plan parallèlement à quel vecteur ?

Une fois que tu auras bien vu ça, je pense que tu pourras revenir sans difficulté à ton exercice.

[LauraLe]

Prenons un exemple , celui de deux projections différentes de sur le plan . la première est la projection et la deuxième la projection . Tu es bien d'accord qu'il s'agit de deux projections sur le plan ? Et tu es bien d'accord qu'elles sont différentes ?

Oui pour le début mais pour si je remplace z par 1 je retombe sur la première

La première projection se fait parallèlement au vecteur (projection "verticale").

Ici on dit que la première projection se fait parallèlement au vecteur parce qu'on a dit avant que qu'il s'agissait d'une projection sur le plan , je suis d'accord.

Ceci veut dire que pour tout point , le vecteur appartient à la droite vectorielle engendrée par .

Oui

Ceci équivaut à dire que le noyau de l'application linéaire associée à est cette droite vectorielle

Je n'avais pas fait le lien entre les deux phrases.

Si je reprends la définition du noyau de l'application linéaire :

Si f : E → F est une application linéaire, son noyau, Ker f est
l’ensemble des vecteurs de E que f annule :
Kerf := {v ∈ E|f (v) = 0}.

Dans le cas de la première projection f , x=y=0 donc Le noyau de la projection f := (x, y, z) → (x, y, 1) de R^3
sur le plan est la droite de vecteur (0,0,1).

Mais je ne vois pas le lien entre pour tout point , le vecteur appartient à la droite vectorielle engendrée par et le fait d'utilise après le noyau de l'application

Dire que est la projection sur le plan parallèlement au vecteur caractérise entièrement . En effet, pour tout point , est le point d'intersection du plan avec la droite passant par et parallèle au vecteur .

Je suis tout à fait d'accord !

Tu peux caractériser la projection donnée plus haut comme étant la projection sur le plan parallèlement à quel vecteur ?

Pour trouver le vecteur je résoudrais le système : x-z+1= 0
y=0

donc x-z=-1 donc je peux prendre x=0 et z=1
y=0

Donc j'aurais le vecteur (0,0,1)

[GaBuZoMeu]

Oui pour le début mais pour si je remplace z par 1 je retombe sur la première

????
Qu'est ce que tu racontes ?
Est-ce que ? Est-ce que ?

Ici on dit que la première projection se fait parallèlement au vecteur parce qu'on a dit avant que qu'il s'agissait d'une projection sur le plan , je suis d'accord.

????
Qu'est-ce que tu racontes ?
L'application est aussi une projection sur le plan , pourtant elle ne se fait pas parallèlement au vecteur .
Penserais-tu qu'une projection est obligatoirement une projection orthogonale ?

Dans le cas de la première projection f , x=y=0 donc Le noyau de la projection f := (x, y, z) → (x, y, 1) de R^3
sur le plan est la droite de vecteur (0,0,1).

Ça ne va pas. La projection n'est pas une application linéaire. C'est une application affine. On ne peut donc pas parler de son noyau !
Sais-tu ce qu'est l'application linéaire associée à l'application affine ?

Mais je ne vois pas le lien entre pour tout point , le vecteur appartient à la droite vectorielle engendrée par et le fait d'utilise après le noyau de l'application

C'est une démonstration que je te demandais de faire.
Soit une application affine d'un espace affine dans lui-même qui est une projection : . Soit l'application linéaire associée à . Montrer que
.
C'est un exercice pas tout à fait évident. Essaie, je t'aiderai si tu n'y arrives pas. Procède par double inclusion.

Pour trouver le vecteur je résoudrais le système : x-z+1= 0
y=0
donc x-z=-1 donc je peux prendre x=0 et z=1
y=0
Donc j'aurais le vecteur (0,0,1)

Ça ne va pas. Soit . On a et qui n'est certainement pas parallèle à .
Encore une fois, tu ne vois pas la différence entre l'application affine et l'application linéaire associée. Quelle est l'application linéaire associée à ? Quel est le noyau de cette application linéaire ?

Je te conseille très vivement de revoir ton cours au sujet de l'application linéaire associée à une application affine.

[LauraLe]

Penserais-tu qu'une projection est obligatoirement une projection orthogonale ?

A vrai dire dans mon cours on ne parle pas de projection... C'est pour cela que j'ai beaucoup de mal. J'ai fait plusieurs cours qui sont sur internet mais c'est encore très flou

Sais-tu ce qu'est l'application linéaire associée à l'application affine ?

Oui ça j'ai vu la définition : Une application f : ε -> F est affine ssi il existe ϕ appartenant à L(E,F) pour tout a, b appartenant à ε, = φ . Je n'arrive pas à mettre les flèches comme il faut mais la flèche est bien au dessus de f(a)f(b) et ensuite sur le vecteur ab. Cette application φ est alors uniquement déterminée et on l'appelle l'application linéaire associée à f et on la note

C'est une démonstration que je te demandais de faire.
Soit une application affine d'un espace affine dans lui-même qui est une projection : . Soit l'application linéaire associée à . Montrer que
.
C'est un exercice pas tout à fait évident. Essaie, je t'aiderai si tu n'y arrives pas. Procède par double inclusion.

D'accord je vais y réfléchir et je vous dirais ce que j'ai fait

Quel est le noyau de cette application linéaire ?

Ah oui excusez-moi !


Donc = 1 0 0 (à cette matrice)
0 1 0
-1 0 1

Donc maintenant je peux chercher le noyau de l'application linéaire en résolvant le sytème :
x= 0
y= 0
-x+ z= 0

donc x=y=z=0

donc Ker (

Je te conseille très vivement de revoir ton cours au sujet de l'application linéaire associée à une application affine.

Vous avez tout à fait raison je vais tout reprendre !

[GaBuZoMeu]

Non, ta détermination de ne va toujours pas. Il faut vraiment que tu révises cette histoire d'application linéaire associée.
est la "partie linéaire" de , ce qui revient à dire que .

[LauraLe]

Bonjour, je tiens à m'excuser du temps que j'ai mis à répondre mais en reprenant tous le cours j'ai compris que ma question du début était en fait très simple parce que j'ai une propriété qui dit que si f est projecteur alors f est la projection sur Im(f) parallèlement à ker(f) !

Par conséquent j'ai compris la correction.
Je tiens encore à m'excuser,

Bien cordialement