Analyse , c'est du lourd

[georgess]

Bonjour , voici un exercice particulièrement costaud en analyse j'aurais besoin de votre soutien :

Pour tout réel a > 0 , on définit la fonction f(a) : ] - pi/2a , + inf [ --> R par :

fa(x) = (1+sin(ax))^x - 1) / x , si x appartient ]-pi/2a , + inf [
fa(x) = V(V(1+ax²) - 1) , si x appartient [0, + infi[

a est en indice je précise pour l'écriture et V = racine carrée , le 1+ax² est contenu dans la 1ere racine et dans la 2eme racine , le -1 n'est contenu quand dans la seconde racine .

Question 1 : donner le développement limité à l'ordre 3 de fa en 0 pour x > 0 .

Donc moi je fais V(V(1+ax²)) = (1+ax²)^1/4 , son développement limité c'est :

1+(1/4)ax² - (3/32)ax³ + (21/384)ax^4 , donc le développement limité c'est :

(1/4)ax² - (3/32)ax³ + (21/384)ax^4 , étant donné qu'on rajoute le -1 du début de l'expression?

Qu'en pensez vous ?

merci

[xyz1975]

Pour tout réel a > 0 , on définit la fonction f(a) : ] - pi/2a , + inf [ --> R par :

fa(x) = (1+sin(ax))^x - 1) / x , si x appartient ]-pi/2a , + inf [
fa(x) = V(V(1+ax²) - 1) , si x appartient [0, + infi[

Bonjour, je pense que la fonction fa est male définie car les intervalles ne sont pas bien écrits.

V(V(1+ax²)) = (1+ax²)^1/4

Si j'ai bien compris vous avez :
V[V(1+ax²)-1] donc faites d'abord un DL de V(1+ax²)-1

[georgess]

[HTML]Bonjour, je pense que la fonction fa est male définie car les intervalles ne sont pas bien écrits.[/HTML]

Oui petit eerreur de frappe , je rectifie :

Code: Tout sélectionner

fa(x) = (1+sin(ax))^x - 1) / x , si x appartient ]-pi/2a , 0 [

[HTML]Si j'ai bien compris vous avez : ...[/HTML]

Non , le -1 n'est que contenu dans la racine principale , pas dans la petite racine qui contient le 1+ax² , donc j'ai fait le développement de V(V(1+ax²)) , qu'en pensez vous ?

merci

[nuage]

Salut,

Non , le -1 n'est que contenu dans la racine principale , pas dans la petite racine qui contient le 1+ax² , donc j'ai fait le développement de V(V(1+ax²)) , qu'en pensez vous ?

j'en pense que c'est une erreur grave.
Il faut faire un DL de (à l'ordre 6) puis chercher un DL à l'ordre 3 de la racine carré du résultat obtenu.
Pour ceci on peut mettre en facteur.

[georgess]

non mais pour le V(1+ax²) - 1 j'ai déjà proposé un développement limité et je pars du principe que V(1+ax²) = (1+ax²)^1/2 , donc je calcule mon développement limité à l'ordre 3 :

1 + ax²/2 - (1/8)ax³ + (1/16)ax^4 , t'es d'accord avec ça ?

[nuage]

non mais pour le V(1+ax²) - 1 j'ai déjà proposé un développement limité et je pars du principe que V(1+ax²) = (1+ax²)^1/2 , donc je calcule mon développement limité à l'ordre 3 :

1 + ax²/2 - (1/8)ax³ + (1/16)ax^4 , t'es d'accord avec ça ?

Non :
personnellement je trouve

[georgess]

tu as raison j'ai raté mes calculé , tu n'as pas mentionné le 1 car c'est dû au -1 de l'expression je pense ?
donc ça je pense avoir saisi , mais le développement limité final que je cherche c'est celui de la racine de toute cette expression V(1+ax²) - 1 , et pour ça crois tu que j'aurais pû faire (1+ax)^1/4 ? c'est le -1 qui me genre je sais pas quoi en faire .

[nuage]

tu as raison j'ai raté mes calculé , tu n'as pas mentionné le 1 car c'est dû au -1 de l'expression je pense ?

Oui

donc ça je pense avoir saisi , mais le développement limité final que je cherche c'est celui de la racine de toute cette expression V(1+ax²) - 1 , et pour ça crois tu que j'aurais pû faire (1+ax)^1/4 ? c'est le -1 qui me genre je sais pas quoi en faire .

Et je me rend compte que j'ai poussé mon DL trop loin. J'ai calculé 2+3 et trouvé 6 :mur:

Mais je pense que tu peux continuer.
Envoie ta réponse si tu veux savoir si elle coïncide avec la mienne.

Avec mes excuses, A+

[georgess]

non mais tu n'as pas à t'excuser , c'est déjà gentil de répondre :happy2: . Je pense que je n'ai pas du tout à continuer on a bien calculer le DL d'ordre 3 , je comprends pas bien ta plainte en fait lol . La réponse finalement tu viens de la donner .

[nuage]

On a pas encore calculer le DL à l'ordre 3 : il reste à faire celui de
Mais celui de suffit.
Et je déteste les calculs inutiles, d'où mes lamentations.

[georgess]

merci pour ton aide , j'attaque la seconde question qui me demande de calculer le DL à l'ordre 3 de fa en 0 pour x < 0 ( donc pour l'expressions avec le sinus :) ) , laisse moi quelques minutes ;)

[georgess]

j'ai une petite question néanmoins , pq on s'est ennuyé à calculer jusque x^6 ?

et ton dernier résultat est une racine , un DL est un polynome , donc je mets toute l'expression à la puissance 1/2 , et le DL d'ordre 3 est finalement :

V1 - (Va * x)/V8 + O (x^3/2) ?

[georgess]

Voici le développement limité d'ordre 3 de l'expression fa(x) = (1+sin(ax))^x - 1) / x :

(ax^x)/x - (ax^(3x))/6x , qu'en penses tu ?

[nuage]

Yo j'ai encore fait des erreurs de calculs :briques: :briques:

Correction

Pour finir :

et


Pour la suite, un peu plus tard. Il faut que je nourrisse ma petite famille.

[georgess]

Je remets donc le dernier résultat :

Voici le développement limité d'ordre 3 de l'expression fa(x) = (1+sin(ax))^x - 1) / x :

(ax^x)/x - (ax^(3x))/6x , qu'en penses tu ?

[nuage]

Je remets donc le dernier résultat :

Voici le développement limité d'ordre 3 de l'expression fa(x) = (1+sin(ax))^x - 1) / x :

(ax^x)/x - (ax^(3x))/6x , qu'en penses tu ?

J'en pense que ce n'est pas un DL.

Le DL à l'ordre 3 se présente sous la forme :
. Ici on aura un ce qui est un peu mieux.
Pour l'obtenir on cherche un DL à l'ordre 4 de

que l'on divise ensuite par

[georgess]

je ne comprends vraiment pas en fait pq tu introduis une exponentielle vu qu'on a déjà le développement limité de sin(x) ...

[nuage]

J'introduis une exponentielle à cause de l'exposant .

Et c'est incontournable.

[georgess]

ok j'ai compris mais du coup je ne sais plus quoi faire car ici j'ai e^(U) , U étant la fonction , or je sais calculer le DL de e^x mais de e^U je ne sais pas comment ça marche...

[nuage]

Il faut ensuite remplacer par son expression, puis la développer raisonnablement.