Analyse Complexe

[checkmaths]

Bonjour, je suis aussi entrain de refaire mon examen d'Analyse Complexe de juin 2017 et je l'ai déjà bien entamé

Mais fallait bien évidemment que je tombe sur un exercice où tu restes perplexe...

Voici l'exercice :



Pourriez-vous m'aider svp ?

[aviateur]

Bonjour Penses au principe du maximum.

[pascal16]

Je ne suis pas spécialiste, mais parle-t-on bien de fonctions entières ie, les déformations du plan ?
soit f(z)=z/|z|² pour |z| >1 raccordée à une boule pour avoir la dérivabilité et la continuité en |z|=1, elle doit convenir.

ou du ça en révolution :


c'est bien une déformation continue du plan , donc une fonction entière

[capitaine nuggets]

Salut !

A mon avis, ce qu'on entend ici par fonction entière, c'est fonction d'une variable complexe holomorphe sur tout entier.

[Lostounet]

Salut !

A mon avis, ce qu'on entend ici par fonction entière, c'est fonction d'une variable complexe holomorphe sur tout entier.

C'est marrant... ! puisque "holomorphe" provient étymologiquement de "holo" = entier et "morphe" = forme. Et que les fonctions holomorphes sur C (entières) sont des transformations conformes qui préservent localement les angles.

Ce à quoi pense Pascal n'est pas si loin de la définition???

[checkmaths]

J'ai trouvé ceci sur exo7 :



Mais je ne vois pas pq le



affirme ce qu'il y a au dessus...

Pourriez-vous m'expliquer svp ?

[pascal16]

Y a un Théorème de Liouville.
Les démos dépassent mes compétences.

[jlb]

Que dit ce théorème, sur le maximum de |f| sur l'adhérence de U si f n'est pas constante?

Mais je maintiens : en utilisant la formule de Cauchy et une petite majoration le résultat tombe tout aussi simplement!! Surtout quand on ne connaît pas le th utilisé...

Et pour reprendre ce que tu proposes: tu considères que ta fonction est non constante ( sinon c'est facile)
Ensuite tu considères zo dans C pour montrer que F(zo) = 0
Si c'est le cas, il n'y a rien à faire. Sinon, tu choisis n entier tel que |zo|<n et tu utilises le principe du maximum sur le disque de centre O et de rayon n alors le maximum de |f| est atteint en z1 de module n et
|F(zo)|=<|F(z1)|=< 1/n. Ceci valant pour tout n supérieur au module de zo, tu en déduis que F(zo) =0

( c'est l'idée de la démo par l'absurde proposée: tu choisis n tel que 1/n <alpha et |n|> |zo| ( zo initial tel que |F(zo)|=alpha) alors alpha= |F(zo)| =< Max|F(z)|_{pour z sur le bord du disque de rayon n}=< 1/n < alpha d'où l'absurdité: alpha <alpha

Avec le th de Cauchy: pour zo dans C et n>|zo|, comme F est holomorphe,
F(zo) = (1/(2ipi)) intégrale_sur_le_bord_du disque_de_rayon_ n F(z)/(z-zo) dz

d'où |F(zo)|=< 1/(2(npi(n-|zo|))) x intégrale_de_0_à_2pi n dthéta = 1/(n-|zo|)

ce qui donne le résultat

[checkmaths]

Merci à tous j'ai compris et, du coup, terminé de refaire l'examen