Calcul des residus, analyse complexe

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neuch
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Calcul des residus, analyse complexe

par neuch » 30 Aoû 2006, 16:39

Bonjour a tous!!
Voila j'vais bientot passer mes rattrapages de septembre et j'aurais besoin d'un petit coup de main dans mes revisions...

Voici l'exercice qui me donne du fil à retordre: :cry:

Trouver les pôles et les residus de la fonction exp(z)/sin(z)

Comment transformer cette fonction en une autre du type f(z)/(z-a) pour faciliter la resolution??
Ou alors y'a't'il une autre maniere de le faire??
Je ne suis jamais tombé sur un probleme de ce genre...
Quelqu'un pourrait'il m'aider??

Merci d'avance.



andros06
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par andros06 » 30 Aoû 2006, 16:55

t'as pensé à un Développement limité de ton application ? ...

DL(fonction) au voisinage de 0

neuch
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ah les DL...

par neuch » 30 Aoû 2006, 18:55

Merci de ta reponse andros...
Seulement ca me donne :

sin(z)=z - (z^3)/6 + o(z^4) si je ne me trompe pas...

Du coup ma fonction devient exp(z)/(z - (z^3)/6 +o(z^4))

Mais j'en fais quoi du o(z^4)??

Je peux ecrire sin(z) ~ z - (z^3)/6 ??
et dire que mon probleme revien a resoudre exp(z)/[z(1 - z²/6)]???
Si c'est ca alors oui a partir de la je peux me debrouiller...Ms il me semble qu'il me manque une subtilité... :triste:

nekros
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par nekros » 30 Aoû 2006, 19:06

...et exp(z), tu n'y touches pas ? :lol4:

Ensuite,

Continue.

A+

neuch
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Euh...

par neuch » 30 Aoû 2006, 20:11

Merci à vous 2 pour vos réponses!!! :ptdr:

Juste...Comment fais tu pour remonter 1 - (z^2)/6 + o(z^3) juste en changeant le - en +?? Jvois pas la manip...

B_J
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par B_J » 30 Aoû 2006, 20:37

utilises le DL de 1/(1-u) = 1+u+o(u)

neuch
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merci du coup de main!!

par neuch » 30 Aoû 2006, 21:42

Merci a tous...

Bon histoire d'etre sûr, la reponse de mon exo est bien :
pôle: 0 pour le 1/z
res ( f(z) , 0 )=1

C'est ca??
Encore merci a tous!!

nekros
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par nekros » 30 Aoû 2006, 21:46

Salut,

C'est quoi le résidu d'une fonction ? :hein:

Merci.

neuch
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par neuch » 30 Aoû 2006, 22:12

le residu d'une fonction c'est :

Soient U un ouvert de la spére de riemann et f une fonction holomorphe de U -> C. Soit z0 un point singulier isolé fini de f. Soit f(z) = Somme(an(z-z0)^n son developpement en serie de laurentau voisinage de z0. On appelle residu de f en z0, le coefficient a-1 de cette serie. Il se note Rés(f,z0)


En gros, quand la fonction est du type : f(z) = g(z)/(z-a),
Rés ( f,a ) = g(a)
Si f(z) = g(z)/(z-a)²
res(f,a)=g'(a)
...etc...

ce qui sert a calculer par exemple l'integrale de f(z) sur un contour fermé contenant a

ce ki donne:
integrale de f(z) = 2iPi Rés (f,a)

Jai du oubleir certain truc ms dans mon cours l'essentiel est la pour les residus...

nekros
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par nekros » 30 Aoû 2006, 22:25

Ok merci, j'avais pas encore vu ces notions.

A+

quinto
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par quinto » 31 Aoû 2006, 01:47

Bonjour,
pour les résidus, c'est quasiment trivial une fois que tu as tout mis sous forme de développement en série de Laurent (et surtout pas de dl comme annoncé plus haut ...)
Les pôles sont trivialement les réels kPi qui annulent la fonction sinus et l'infini.
f(z)=exp(z)/sin(z) est une fonction méromorphe sur C, et vu que les singularités kPi sont des pôles, l'infini n'a pas le choix d'être une singularité essentielle.
Finalement, pour calculer les résidus, il suffit de calculer celui en 0 et après, moyennant un changement de variable on les a tous facilement:

exp(z)/sin(z)=1/z+1+...
le résidu en 0 de f est donc 1.
Ensuite, si tu cherches celui en pi, tu regardes
exp(z-pi)/sin(z-pi)=exp(-pi)exp(z)/sin(z-pi)=exp(-pi)/(z-pi)+...
et donc le résidu est exp(-pi)
d'une manière générale, le résidu en kpi de f sera surement exp(-kpi).

Bonne chance pour tes rattrapages.
a+

quinto
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par quinto » 31 Aoû 2006, 01:50

J'ai du faire une petite erreur de calcul(s). Maple me trouve (-1)^k.exp(kPi) quand je trouve exp(-kPi) comme résidus.
L'idée est quand même là et désolé pour cette erreur.
a+

neuch
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par neuch » 31 Aoû 2006, 15:24

oki...cependant...l'exercice ke jvous ai proposé sort de mon partiel de janvier et soit disant on avait pas eu le tps de finir le programme et dc de voir les series de laurent...
Dc je ne connais ce developpement..
c'est quoi la methode pour developper exp(z)/sin(z) en serie de laurent??

Ou alors n'y aurait il pas une autre maniere de faire??

merci

quinto
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par quinto » 31 Aoû 2006, 16:00

neuch a écrit:oki...cependant...l'exercice ke jvous ai proposé sort de mon partiel de janvier et soit disant on avait pas eu le tps de finir le programme et dc de voir les series de laurent...
Dc je ne connais ce developpement..
c'est quoi la methode pour developper exp(z)/sin(z) en serie de laurent??

La manière est de développer exp et sin en séries entières et d'en faire le quotient. Tu ne peux pas nécessairement trouver tous les ordres du développements, mais tu as juste à aller chercher celui en z^-1.
Pour ma part, j'ai fait une erreur lors de mon développement, comme je l'ai annoncé, mais je ne l'ai pas corrigé, alors ne tient pas compte du résultat.

Ou alors n'y aurait il pas une autre maniere de faire??

Il y'a beaucoup de manière de procéder suivant le contexte.
Ici le mieux est le développement en série de Laurent, ou tout simplement le calcul de l'intégrale curviligne entourant une et une seule singularité une et une seule fois, et sans jamais traverser une autre singularité.

où Gamma est par exemple un petit cercle entourant ta singularité et rien que celle ci, et qui est "loin" des autres singularités.
Cependant, ce calcul ne me semble vraiment pas évident.
a+

neuch
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par neuch » 31 Aoû 2006, 16:27

Je récapitule dc...

Je cherche les seies entieres de exp et sinus et j'en fais le quotient:

exp ( z ) = ;) z^k / k!
sin(z) = ;) ( (-1)^k * z^2k+1 ) / (2k +1)!

jusque la on est d'accord...
la les choses se corsent...

En suivant tes conseils je trouve :

exp(z)/sin(z) = 1/z - 6/z² + 5!/(2z^3) ...
C'est ca??
Ok ca me donne un pole en 0 a cause du 1/z...
- le reste on en fait quoi??
- pour les autres poles (a savoir les kpi) j'ai pas compris comment tu les trouvais???
Un ptit coup de pouce??
Merci en tout cas de tes explications

yos
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par yos » 31 Aoû 2006, 20:28

Bonjour
Si la limite de (z-a)f(z) en a existe et est finie, c'est le résidu de f en a. Ici c'est bon.

 

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