J'suis entrain de plancher sur un exo de théorie des groupes, et croyait moi, ça me chagrine
Soit G un groupe fini opérant sur un ensemble fini E
On suppose que l'action est telle que toute orbite de G contient au moins 2 points. Si |G| = 15 et Card(E) = 17, trouver le nombre d'orbite de G dans E et le cardinal de chacune
Bon, par les différentes définitions et équation de classe, j'ai trouver que le nombre k d'orbites était compris entre 2 et 8
Ensuite, j'me suis pris un représentant quelconque d'une des 8 orbites.
Et j'ai écrit : |G| = (G:Stab(e_i))x|Stab(e_i)| par le théorème de Lagrange
Donc |G| = 15 = 3*5
On a de toute façon |Stab(e_i)| {1,3,5,15}
Or |Stab(e_i)| = 15 n'est pas possible car sinon (G:Stab(e_i)) = 1, ce qui contredit l'hypothèse sur le cardinal des orbites
Ensuite, j'en suis arrivé à faire une distinction de cas :
Si |Stab(e_i)| = 3 alors c'est un 3-sylow, et en posant j le nombre de 3-sylow on a
j - 1 divisible par 3
j divise 5
Ce qui donne que j = 0
De la même façon, on trouve que le nombre de 5-sylow est nul
J'en arrive donc au fait que |Stab(e_i)| = 1 et donc que (G:Stab(e_i)) = |O(e_i)| = 15
Ce qui donnerait donc k = 2
Avec une orbite de cardinal 15
et une orbite de cardinal 2
Ce qui me chagrine, c'est de trouver une orbite de cardinal 2 à la fin, car pas possible d'après ce que j'ai fait au dessus :^)
Donc il est où le problème :^) ?
En vous remerciant