je cherche une façon de montrer que les images d'une transformation de Moebius pavent le disque de Poincaré si l'on a un octogone hyperbolique avec aucun côté sur la frontière . Je sais qu'il existe pavage du plan hyperbolique par un n-gone hyperbolique régulier avec k polygones se rejoignant à chaque sommet sii 1/n + 1/k < 1/2. Or, est-ce suffisant de dire que si cette contrainte est satisfait alors le plan hyperbolique (ou le disque de Poincare) est pave?
Je vais travailler dans le disque de Poincare D.
Soit w = e^(2pi * i/n) la nieme racine unite. Je fixe r element de (0,1). Si je suppose D(r) le polygone de Dirichlet avec sommets r,rw,...,rw^(n-1=7). Soit alpha(r) l'angle interne du sommet rw^j. Pour chaque 0<=k<=n-1=8-1=7, je peux utiliser la transformation de
Moebius gamma_k (z) = w^k z qui fait une rotation du polygone de sorte que le sommet v_i est associe au sommet v_(i+k).
Donc, gamma(k) (D(r)) = D(r). Comme les transformations de Moebius preservent les angles, l'angle interne au somme v_1 est egal a l'angle interne au sommet v_(1+k). En faisant varier k, on voit que les angles internes sont egaux. Dans ce que on aura l'angle egal a pi/4.
J'ai trois questions:
1) Comment est-ce que je fais pour le dessiner? (En fait je veux savoir quelles doivent etre les longueurs des cotes et les angles du triangle hyperbolique que je devrai me servir pour construire l'octogone en effectuant les rotations?)
2.1 Comment est-ce que je montre que le disque de Poincare D est pave par l'action du groupe?
2.2 D'ailleurs, quel est le groupe fuchsien donnant cet octogone qui est en fait un domaine fondamental et que je veux reprensenter comme un polygone de Dirichlet? Est-ce que c'est Gamma = {gamma_k | gamma_k (z) = w^k z , 0
3. Idealement j'aurais voulu trouve une application de Moebius avec coefficients reels qui aurait permis de faire ce qui je decris plus haut, est-ce que vous pourriez-m'aider a en trouver une?