Topologie dans R^n : distance

[skala]

bonjour
soit (E,d) un espace metrique ; Montrer que
d(x,y)=inf[1,d(x,y)]
bn ce que j'ai fait j'ai suppose l’existence d'une fonction f tq d'(x,y)=f(d(x,y))
si f(d(x,y)) est une distance alors d(x,y) ast aussi une distance , a condition f vérifie ces 3 points
f(X)=0 X=0
f(X+Y)f(X)+f(Y)
f croissante
peu d'aide svp

[Ben314]

Bonsoir,
bon, dés le départ... ça commence mal...

d(x,y)=inf[1,d(x,y)]

ça serait pas plutôt un truc du style
où tu sait que est une distance et où il faut montrer que en est aussi une ?

si f(d(x,y)) est une distance alors d(x,y) est aussi une distance , a condition f vérifie ces 3 points
f(X)=0 X=0
f(X+Y)f(X)+f(Y)
f croissante

et si ça c'est une affirmation, ben elle est fausse...

[skala]

Bonsoir,
bon, dés le départ... ça commence mal...ça serait pas plutôt un truc du style
où tu sait que est une distance et où il faut montrer que en est aussi une ?
et si ça c'est une affirmation, ben elle est fausse...

we we c'est ça j'ai t'as raison elle est de forme et montre que [TEX]\delta(x,y) est une distance

[Ben314]

Aprés, je suppose que la fin, c'est un "théorème de cours".
Sauf que le théorème, ce qu'il dit, c'est que :

si d(x,y) est une distance alors f(d(x,y)) est aussi une distance à condition que f vérifie ces 3 points
f(X)=0 si et seulement si X=0
f(X+Y)f(X)+f(Y)
f croissante

(alors que ce que tu as énoncé est faux)
Si c'est bien ça, il suffit effectivement de montrer que a fonction vérifie les 3 points en question.
Il n'y a pas de difficulté particulière, mais seulement des "cas" à étudier (si t1 alors...)

[skala]

voila ce que j'ai fait
f(x) = inf (1, x) ==> f(x) =< 1 et f(x) =< x

f(y) = inf (1, y) ==> f(y) =< 1 et f(y) =< y

f(x + y) =< 1 et f(x + y) =< x + y

donc f(x + y) =< f(x) + f(y)
!! je suis pas sure si ça vrai

[deltab]

Bonsoir.

Vu les propriétés de f, c'est l'inégalité triangulaire pour f(d(x,y) qui n'est à priori pas évidente. Et c'est là qu'interviennent la croissance de f et l'hypothèse .
d étant une distance alors . La croissance de f donne alors d'où et on a bien

[skala]

Bonsoir.

Vu les propriétés de f, c'est l'inégalité triangulaire pour f(d(x,y) qui n'est à priori pas évidente. Et c'est là qu'interviennent la croissance de f et l'hypothèse .
d étant une distance alors . La croissance de f donne alors d'où et on a bien

mais on a pas montré que f est croissante encore !!

[deltab]

Bonjour

[quote="skala"]voila ce que j'ai fait
f(x) = inf (1, x) ==> f(x) = f(y) ==1[/TEX] et engendrera d'autres sous-cas, les 2 sont inférieurs à 1, un seul est supérieur ou égal à 1 et les 2 sont supérieurs ou égaux à 1 .

[deltab]

Bonjour

mais on a pas montré que f est croissante encore !!

J'ai juste essayé de montrer que si f vérifiait les 3 hypothèses que était bien une distance puisque Ben314 se posait la question.

Quant à la croissance de , elle n'est pas difficile à montrer mais un peu fastidieuse à faire. Etudier les cas

[Ben314]

Il semblerais qu'il y ait une ambigüité concernant le travail que tu as à faire.
J'avais cru comprendre (peut-être à tort...) que le fameux "si d est une distance alors fod en est une aussi lorsque..." était un théorème que vous aviez déjà démontré en cours et que ce que tu avais à faire c'était d'appliquer ce théorème au cas mais qu'on ne te demandais pas de redémontrer le théorème.

Aprés, si c'est bien ça, je confirme ce que tout le monde dit : ce n'est pas dificile, mais un peu fastidieux de montrer que la fonction vérifie les fameux 3 points ... (il y a sans doute quelques petites astuces pour étudier un peu moins de cas, mais il faudra forcément en étudier plusieurs...)

[deltab]

Bonjour.

Ben314 a bien fait de douter de l'énoncé du théorème. Certes j'ai montré l'inégalité triangulaire mais la 1ère hypothèse est incomplète: Ce n'est pas mais . Une fonction g peut très vérifier les 2 autres conditions et vérifier même, il suffit pour cela que l'équation n'admette pas de solutions