Problème d'optimisation

[mathabs21]

Bonjour, j'ai besoin d'aide dans un problème d'optimisation. Voici la question

Le curé d'une paroisse désire reconstruire son église détruite par le feu en y insérant plusieurs vitraux ayant tous la forme d'un rectangle surmonté d'un demi-cercle. Le périmètre total de chaque vitrail peut-être variable; disons qu'il doit être de P mètres. Trouvez le rayon du demi-cercle, en fonction de P, qui maximiserait l'aire de tous les vitraux de telle sorte que la quantité de lumière passant à travers eux soit la plus grande possible. Pour la solution du problème, considérez P comme une valeur fixe évidemment positive.

;) = (pi)
La base du rectangle = 2r
La hauteur = h
Le rayon = r

J'ai trouvé la fonction à optimiser, soir A(x,y)= (4xy+;)x²)/2

Pour le reste je ne suis pas certain.

Merci !!

[WillyCagnes]

bonjour,

c'est bien d'inventer des formules avec des X et Y...et pourquoi pas Z comme Zorro!
fais donc un dessin avec les variable r et H
et reformule ton equation avec p et r et H

[titine]

Bonjour, j'ai besoin d'aide dans un problème d'optimisation. Voici la question

Le curé d'une paroisse désire reconstruire son église détruite par le feu en y insérant plusieurs vitraux ayant tous la forme d'un rectangle surmonté d'un demi-cercle. Le périmètre total de chaque vitrail peut-être variable; disons qu'il doit être de P mètres. Trouvez le rayon du demi-cercle, en fonction de P, qui maximiserait l'aire de tous les vitraux de telle sorte que la quantité de lumière passant à travers eux soit la plus grande possible. Pour la solution du problème, considérez P comme une valeur fixe évidemment positive.

= (pi)
La base du rectangle = 2r
La hauteur = h
Le rayon = r

J'ai trouvé la fonction à optimiser, soir A(x,y)= (4xy+;)x²)/2

Pour le reste je ne suis pas certain.

Merci !!

Je ne comprends pas trop ton raisonnement.
Soit x le rayon.
Soit h la hauteur. Connaissant le périmètre on peut exprimer h en fonction de x :
Le périmètre est : 2x + 2h + 2pi r
D'accord ?
Donc 2x + 2h + 2pi x = P
Donc 2h = P - 2x - 2pi x
h = (P - 2x - 2pi x)/2 = P/2 - x - pi x

L'aire en fonction de x est : A(x) = x*(P/2 - x - pi x) + pi x²/2
A(x) = (P/2)x - x² - pi x² + pi x²/2 = (-pi/2 - 1)x² + (P/2)x
Il s'agit d'une fonction polynôme de degré 2 on sait donc déterminer son maximum ....

[WillyCagnes]

tu poses x le rayon et dans le calcul du perimètre tu utilises aussi r.

1)donc recalcule le périmètre du vitrail avec r,,H,pi
2) 2pi.r est la circonference du cercle et non la moitié

[WillyCagnes]

Je ne comprends pas trop ton raisonnement.
Soit x le rayon.
Soit h la hauteur. Connaissant le périmètre on peut exprimer h en fonction de x :
Le périmètre est : 2x + 2h + 2pi r

tu utilises 2 variables X et r dans ton perimètre.

tu as le droit de prendre X comme le rayon pour resoudre le problème.
----
je vais te montrer que l'on peut aussi prendre r comme rayon

perimètre P= 2r+2h+pi.r = r(2+pi)+2h

d'où h= P- r(2+pi)/2

l'aire A(r) = 2r.h+(pi.r²)/2 en remplace h par la valeur ci-dessus

A(r) = 2r(P-r(2+pi)/2) + pi.r²/2
A(r) = 2r.P -2r²(2+pi)/2 +pi.r²/2
A(r) = 2r.P +r²(pi/2 -2-pi)
A(r) = 2r.p +r² (-2-pi/2)

la derivée= A'(r) = 2P +2r(-2-pi/2)

pour avoir la surface Maxi ,il faut calculer A'(r)=0
2P +2r(-2-pi/2) =0 d'où

r = P/(2+pi/2)
on a bien r = f(p)

mais comme tu n'es pas habitué à utiliser d'autres variables que X, tu es un peu perdu.
mais tu peux faire le problème avec des x sans le r

[titine]

Ouais c'est vrai je me suis un peu planté ! Répondu trop vite ... Désolé !

Soit x le rayon.
Soit h la hauteur. Connaissant le périmètre on peut exprimer h en fonction de x :
Le périmètre est : 2x + 2h + pi x
D'accord ?
Donc 2x + 2h + pi x = P (ce n'est pas 2pi x mais pi x car il n'y a qu'un demi cercle !)
Donc 2h = P - 2x - pi x
h = (P - 2x - pi x)/2 = P/2 - x - (pi/2) x

L'aire en fonction de x est : A(x) = x*(P/2 - x - (pi/2) x) + pi x²/2

Peut être y a t il encore des erreurs ... Mais l'idée est là.
Exprimer h en fonction de P et x (P est fixe, x est la variable)
Puis exprimer l'aire et chercher son maximum.

[titine]

Toi aussi tu t'es planté !!!

P= 2r+2h+pi.r = r(2+pi)+2h

d'où h= P- r(2+pi)/2

Non !
Ça fait :
h = P/2 - r(2+pi)/2 !

[WillyCagnes]

Toi aussi tu t'es planté !!!

Non !
Ça fait :
h = P/2 - r(2+pi)/2 !

C'est très bien d'avoir vérifié mes calculs!
J'avoue mon erreur en voulant te repondre trop vite sans verifier! :marteau:
donc 1 partout :ptdr:

[mathabs21]

Merci beaucoup de m'aidé, j'avais peut-être oublié quelques petits détails.


Voici mon raisonnement.
Base du rectangle = 2r et la hauteur = h
Aire du rectangle = 2r * h ou 2x * y (Ce sont les deux valeurs données)
Aire du demi cercle au somment de ce même rectangle = pi*r²/2 (Puisque c'est un demi cercle)
A(x,y)= (2x*y) + (pi*x²)/2
Donc c'est pourquoi j'arrive à (4xy + pi*x²)/2
C'est la même chose pour le périmètre.
Le périmètre du demi cercle ne devrait pas être (2pi*r)/2 ?
Donc P = 4r + 2h + (2pi*r)/2 ou 4x + 2y + (2pi*x)/2

Je ne comprends pas trop ton raisonnement.
Soit x le rayon.
Soit h la hauteur. Connaissant le périmètre on peut exprimer h en fonction de x :
Le périmètre est : 2x + 2h + 2pi r
D'accord ?
Donc 2x + 2h + 2pi x = P
Donc 2h = P - 2x - 2pi x
h = (P - 2x - 2pi x)/2 = P/2 - x - pi x

L'aire en fonction de x est : A(x) = x*(P/2 - x - pi x) + pi x²/2
A(x) = (P/2)x - x² - pi x² + pi x²/2 = (-pi/2 - 1)x² + (P/2)x
Il s'agit d'une fonction polynôme de degré 2 on sait donc déterminer son maximum ....

[mathabs21]

Oups désolé tout le monde, merci d'avoir répondu à ma question.
Je n'avais pas lu toutes les réponses avant de répondre :langue2:

[mathabs21]

J'ai bien utilisé les informations que vous m'avez donnés. Tout a très bien été merci beaucoup :)

La réponse n'est pas très belle à cause de la constante P, mais bon je m'y ferai ;)