Problème d'optimisation

[Brasko]

Bonsoir,
Voici le problème :

ABCD est un carré de côté 1.
Le point E est situé sur la droite (AB), à l'extérieur du segment [AB] et du côté de B, le point F est sur le segment [AD] et BE=DF
I est le point d'intersection des droites (BC) et (EF).

Quelle est la position du point E pour laquelle l'aire du triangle BEI maximale ?

PS: Si vous avez des démonstrations originales elles seront le bienvenues !

Merci d'avance

[Anneauprincipal]

Bonjour,

Cherchez vous des démonstrations ou la réponse à l'exercice ? Comme c'est un problème d'optimisation du second degré il n'y a de toute manière pas 50 façons de répondre.

[Brasko]

La réponse je l'ai c'est 0.62, ce que je veux c'est plutôt une démonstration originale

[chan79]

La réponse je l'ai c'est 0.62, ce que je veux c'est plutôt une démonstration originale

Salut
Thalès dans AEF, coupé par (BC) ou bien la tangente de calculée de deux façons donne BI en fonction de BE=x

[Brasko]

j'ai fais thales pour trouver bi en fonction de x puis l'aitre du triangle en fonction de x, j'ai deriv puis fais A'=0

[chan79]

j'ai fais thales pour trouver bi en fonction de x puis l'aitre du triangle en fonction de x, j'ai deriv puis fais A'=0

Ca me paraît bien
Je ne vois rien de beaucoup plus rapide pour arriver à

[Brasko]

ok merci beaucoup

[KillerBill621]

Bonjour,
Je suis en première S et j'ai ce même exercice à faire pour la fin de semaine.

J'ai utilisé Thalès et donc trouvé BI et l'aire de BIE en fonction de x. Mais je suis bloqué et je ne voit plus comment continué... pouvez vous m'indiquez la piste à suivre ??

ps: Je sais que je doit arrivé à (racine(5)-1)/2 = 0,618

[benjber]

Bonjour,
Je suis en première S et j'ai ce même exercice à faire pour la fin de semaine.

J'ai utilisé Thalès et donc trouvé BI et l'aire de BIE en fonction de x. Mais je suis bloqué et je ne voit plus comment continué... pouvez vous m'indiquez la piste à suivre ??

ps: Je sais que je doit arrivé à (racine(5)-1)/2 = 0,618

salut,
tu peux donner la fonction que tu as trouvé ?

[KillerBill621]

salut,
tu peux donner la fonction que tu as trouvé ?

Pour l'instant j'ai trouvé:

BI = (x-x²)/(x+1)
Aire BIE = (x²-x³)/2(x+1)
mais je ne voit pas comment continuer

[chan79]

Pour l'instant j'ai trouvé:

BI = (x-x²)/(x+1)
Aire BIE = (x²-x³)/2(x+1)
mais je ne voit pas comment continuer

Etudie cette fonction (dérivée, variations ...)

[KillerBill621]

Etudie cette fonction (dérivée, variations ...)

Ok, merci beaucoup pour l'aide.
Je fait ça de suite. Mais à quoi pourront me servir les variations de cette dérivée ?

F(x)=(x²-x³)/2(x+1)
F'(x)=(2x-3x²)/2

[KillerBill621]

Etudie cette fonction (dérivée, variations ...)

Peut être que l'étude des variations m'amènera à un maximum x, qui sera la position du point E ?

[chan79]

Peut être que l'étude des variations m'amènera à un maximum x, qui sera la position du point E ?

Bien-sûr, c'est ça ! Calcule déjà la dérivée

[KillerBill621]

Bien-sûr, c'est ça ! Calcule déjà la dérivée

Pour la dérivée je trouve: f'(x)=(2x-3x²)/2
C'est bien ça ?

[chan79]

Pour la dérivée je trouve: f'(x)=(2x-3x²)/2
C'est bien ça ?

non

[KillerBill621]

non

Ah oui...
u=x²-x³ donc u'=2x-3x²
v=2x+2 donc v'=2

Donc
f'=(u'v-uv')/2
f'=((2x-3x²)(2x+2)-2(x²-x³))/2²
f'=((4x²+4x-6x³-6x²)-2x²+2x³)/4
f'=(-4x³-4x²+4x)/4 ??

[KillerBill621]

Ah oui...
u=x²-x³ donc u'=2x-3x²
v=2x+2 donc v'=2

Donc
f'=(u'v-uv')/2
f'=((2x-3x²)(2x+2)-2(x²-x³))/2²
f'=((4x²+4x-6x³-6x²)-2x²+2x³)/4
f'=(-4x³-4x²+4x)/4 ??

Rectification:
(-4x³-4x²+4x)/(2x+2)² ?

[chan79]

Rectification:
(-4x³-4x²+4x)/(2x+2)² ?

oui, factorise 4x au numérateur, étudie de signe de f'(x) sachant que x varie entre 0 et 1

[KillerBill621]

oui, factorise 4x au numérateur, étudie de signe de f'(x) sachant que x varie entre 0 et 1

Je trouve donc: (-x³-x²+x)/(x+1)²
Le signe de f'(x) est celui de -x³-x²+x (car (x+1)²>0)
Je sais comment trouver le signe d'un polynôme du second degré uniquement...