Exo Somme d'entiers pour demain !

[Kikoulol]

Bonjour, j'ai un exercice pour demain et je ne comprend pas trop, voici l'énoncer:

1.Determiner un polynôme de degré 2 tel que:
P(x+1)-P(x)=2x et P(0)=0.

2.En déduire la somme des n premiers nombres entiers pairs non nuls: S= 2+4+...+2n.

3.En déduire la somme des n premiers nombres entiers non nuls.

Pouvez m'aider svp...

[Sourire_banane]

Bonjour, j'ai un exercice pour demain et je ne comprend pas trop, voici l'énoncer:

1.Determiner un polynôme de degré 2 tel que:
P(x+1)-P(x)=2x et P(0)=0.

2.En déduire la somme des n premiers nombres entiers pairs non nuls: S= 2+4+...+2n.

3.En déduire la somme des n premiers nombres entiers non nuls.

Pouvez m'aider svp...

Salut,

Somme télescopique.

[Kikoulol]

Salut,

Somme télescopique.

Oui j'ai saisis mais je sais pas comment faire...

[Sourire_banane]

Oui j'ai saisis mais je sais pas comment faire...

Qu'est-ce que tu vois quand j'écris :

(P(1)-P(0)) + (P(2)-P(1)) + (P(3)-P(2)) + ... + (P(n-1)-P(n-2)) + (P(n)-P(n-1))
=-P(0) + (P(1)-P(1)) + (P(2)-P(2)) + ... + (P(n-1)-P(n-1)) + P(n)

?

[Kikoulol]

Qu'est-ce que tu vois quand j'écris :

(P(1)-P(0)) + (P(2)-P(1)) + (P(3)-P(2)) + ... + (P(n-1)-P(n-2)) + (P(n)-P(n-1))
=-P(0) + (P(1)-P(1)) + (P(2)-P(2)) + ... + (P(n-1)-P(n-1)) + P(n)

?

Oui mais on a pas de somme précise alors...
J'ai essayer ça:

P(x) = ax² + bx + c :
Reste à trouver a, b, c ...

P(x+1) - P(x) = a(x+1)² + b(x+1) + c - ax² - bx - c
P(x+1) - P(x) = 2ax + a + b = 2x
Donc : a=1 et b=-1
Donc : P(x) = x² - x + c
Comme P(0) = 0, c=0
Conclusion : P(x) = x² - x = x(x-1)

S = 2 + 4 + ... + 2n :
P(n+1) - P(n) = 2n
P(n) - P(n-1) = 2(n-1)
...
P(3) - P(2) = 4
P(2) - P(1) = 2
-------------------------
En sommant toutes les lignes, on retrouve après simplification :
SPn = P(n+1) - P(1) = (n+1)n - 0
SPn = n(n+1)

[Sourire_banane]

Oui mais on a pas de somme précise alors...
J'ai essayer ça:

P(x) = ax² + bx + c :
Reste à trouver a, b, c ...

P(x+1) - P(x) = a(x+1)² + b(x+1) + c - ax² - bx - c
P(x+1) - P(x) = 2ax + a + b = 2x
Donc : a=1 et b=-1
Donc : P(x) = x² - x + c
Comme P(0) = 0, c=0
Conclusion : P(x) = x² - x = x(x-1)

S = 2 + 4 + ... + 2n :
P(n+1) - P(n) = 2n
P(n) - P(n-1) = 2(n-1)
...
P(3) - P(2) = 4
P(2) - P(1) = 2
-------------------------
En sommant toutes les lignes, on retrouve après simplification :
SPn = P(n+1) - P(1) = (n+1)n - 0
SPn = n(n+1)

C'est juste.

[Kikoulol]

C'est juste.

D'accord merci