Etude d'une suite T°S

[gru]

Bonjour.

J'avais hier reçu une aide non négligeable pour la résolution d'un exercice sur les suites. Je reposte l'exercice, dans son intégralité cette fois. Je suis sans issues à la question ii/. Je ne sais pas s'il me faut la résoudre comme n'importe quelle équation. De plus, il y a l'inconnue n et l'inconnue k. Puis-je les fondre en une seule inconnue? Enfin, en rapport avec les question iii/ et d), je pense devoir trouver un résultat de 3 (résultat à quelle question ?!). Enfin bon, voilà l'exercice :

On considère la suite définie par .

a) Calculer , , , et . (C'est fait).

b) Démontrer que la suite est strictement croissante. (C'est fait).

c) Le but de cette question est de prouver que est majorée.
i/ Démontrer que: . (C'est fait).
ii/ Démontrer que: . (Confer mes explications premières).
iii/ En déduire que est majorée par 3.

d) En déduire que la suite converge puis conjecturer la valeur à près de sa limite.

Merci d'avance pour votre aide.

[LeFish]

Pour la ii/, il faut utiliser un raisonnement par récurrence !

[gru]

Pour la ii/, il faut utiliser un raisonnement par récurrence !

OK merci. Pour l'initialisation, puis-je transformer k en n ou n en k ?

Merci encore.

[LeFish]

Ah nonononon, ils sont bien différents !

[gru]

Ah nonononon, ils sont bien différents !

J'ai beau y réfléchir, je ne comprends pas pourquoi. Quelle est l'utilité de n et de k dans ? De plus, comment tout mettre en relation ?

Je commence vraiment à nager ... si seulement un poisson pouvait me tirer hors de l'eau ...

Merci encore.

[LeFish]

Tu ne touches pas à k. Traite-la un peu comme une constante (pour l'instant). Fais ta récurrence sur n :
Tu vérifies la propriété pour n =1, puis tu fais l'hérédité :
Tu supposes ton égalité vraie et tu montres que .
Pour faire ça, fais en sorte de faire apparaître la somme jusqu'à n !

[gru]

Re-bonjour.

Je me suis renseigné un peu sur sigma.

Puis-je dire: .

Si oui, comment puis-je ensuite faire disparaître le k ?

Merci encore.

[LeFish]

Il ne faut pas faire disparaître le k. Laisse-le comme il est.

Et non, ce tu as écris est faux, puisque ta variable de sommation, k, est aussi à l'intérieur de la somme (le terme 1 / 2^(k-1) )

[gru]

Tu ne touches pas à k. Traite-la un peu comme une constante (pour l'instant). Fais ta récurrence sur n :
Tu vérifies la propriété pour n =1, puis tu fais l'hérédité :
Tu supposes ton égalité vraie et tu montres que .
Pour faire ça, fais en sorte de faire apparaître la somme jusqu'à n !

OK, est-ce que cela peut donner .

Si non, pouvez-vous m'expliquer ce que représente k et n ?

Merci encore

[LeFish]

J'en doute très fortement...

k est ton indice de sommation : il représente de quel entier à quel entier tu fais ta somme. De plus, il fait partie de l'expression 1 / 2^(k-1).
n est l'entier qui te dit jusqu'où tu fais ta somme. C'est sur cet entier là que tu fais ta récurrence.

[gru]

Argh!

Plus j'y réfléchis et plus je m'embrouille. Je n'arrive à rien faire avec sigma, comment m'en débarrasser ?

Merci encore de passer tant de temps à aider tant de monde.

[LeFish]

Je vais essayer de t'aiguiller un peu :
Pour l'hérédité, il faut séparer ta somme en deux de cette façon : .

La tu peux utiliser le fait que tu as supposé la propriété vraie, c'est à dire que


En regroupant les deux termes tu devrais arriver à !

[gru]

Je vais essayer de t'aiguiller un peu :
Pour l'hérédité, il faut séparer ta somme en deux de cette façon : .

La tu peux utiliser le fait que tu as supposé la propriété vraie, c'est à dire que


En regroupant les deux termes tu devrais arriver à !

Merci, cependant:

- comment passez-vous de à .

- Quels sont les deux termes que je dois regrouper ?
- Quelles sont les règles d'addition, de soustraction, de multiplication et de division avec sigma ?

Encore merci. J'espère ensuite ne plus avoir à vous déranger avec cela ...

[LeFish]

- C'est simplement dire qu'une somme de 1 à n+1, c'est une somme de 1 à n plus le terme pour n+1.
- Tu dois regrouper 1/2^n et 2[ 1 - 1/2^n ]
- Je pense qu'il vaut mieux que tu attendes un cours dessus, parce que les règles sont nombreuses.
Par contre, quand tu as une somme divisée par une autre somme, tu ne peux pas faire grand chose.
Par contre avec une addition (si c'est une soustraction ça revient au même quasiment), regarde le chapitre 1.3 sur ce document, surtout les encadrés ! (tu peux lire le reste si tu veux)

[gru]

Non, en fait, je n'en avais pas fini ...

Je n'arrive pas à regrouper les deux termes de la manière que vous m'avez prescrite, j'en arrive à :
Comment développer plus ?

Ensuite, votre résultat est : .

Cela n'est pas comparable avec ce que l'on cherche, c'est à dire: . Comment y remédier ?

PS: Merci pour le raccourci, quoique peu limpide, cela m'a aidé à comprendre n et k, et m'a permis de mieux comprendre les mécanismes de calcul ...

[LeFish]

Ensuite, votre résultat est :

Ah non, je n'ai jamais dit ça

Sinon , ça devrait t'aider ! Il faudra aussi factoriser par la bonne quantité ! (2, en fait)