La famille est-elle generatrice?

[kmikazi]

Dans l’espace vectoriel R4, on considère les quatres vecteurs a = (1; 2; 1;-1),b = (2; 0;-1; 0),
c = (-1; 6; 5;-3) et d = (3; 2; 0; 1).

La famille {a;b;d} est-elle génératrice de R4 ?

j'ai pensé a montrer que la famille est libre et si elle l'est alors elle est generatrice de R4, c'est bon?

[jlb]

oui la méthode est bonne si tu as oublié c dans ta famille!!!

[kmikazi]

oui la méthode est bonne si tu as oublié c dans ta famille!!!

nn justement j'ai pas oublié c

[XENSECP]

3 éléments ne peuvent pas être une famille génératrice d'un espace de dimension 4 !!

[Rometch]

Alors il n'y a pas de risque que (a,b,d) soit génératrice !
L'espace vectoriel engendré par 3 vecteurs a une dimension d'au plus 3 ; et la dimension de R^4 est 4>3...

[jlb]

pour générer R4 tu dois avoir au moins 4 vecteurs dans ta famille, avec 3 c'est pas la peine.

dimR4 = 4 toute base de R4 doit contenir 4 vecteurs

[kmikazi]

ok merci de vos reponses

[kmikazi]

ok merci de vos reponses

et qu'en est il si on avait 5 vecteurs?

[kmikazi]

et qu'en est il si on avait 5 vecteurs?

[XENSECP]

et qu'en est il si on avait 5 vecteurs?

Dans la famille ? Elle serait POTENTIELLEMENT génératrice.

[kmikazi]

Dans la famille ? Elle serait POTENTIELLEMENT génératrice.

mais je veux dire comment le demontrer?

[XENSECP]

mais je veux dire comment le demontrer?

Tu veux le faire sur un exemple ?

[kmikazi]

Tu veux le faire sur un exemple ?

oui par exemple les 4 vecteurs que j'ai mis plus un vecteurs quelconque

[jlb]

tu montres que le rang de cette famille est 4:

tu écris tes 5 vecteurs en lignes l'un au dessous de l'autre et tu appliques méthode du pivot. A la fin le nombre de lignes non nulle te donne le rang de ta famille de vecteurs

1 2 1 -1
2 0 -1 0
-1 6 5 -3
3 2 0 1
-1 -2 5 3

on fait ligne2 - 2 ligne1; ligne3+ligne1;ligne4-3ligne1;ligne5+ligne1

1 2 1 -1
0-4 -3 2
0 8 6 -4
0 -4 -3 4
0 0 6 2

on fait ligne3 + 2 ligne2; ligne4 - ligne2

1 2 1 -1
0 -4 -3 2
0 0 0 0
0 0 0 2
0 0 6 2

ton rang est 4 si pas d'erreur de calcul!!

[Archibald]

et qu'en est il si on avait 5 vecteurs?

Une sur-famille d'une famille génératrice est toujours génératrice. (Tout comme une sous-famille d'une famille libre est toujours libre)

Donc, grosso modo, si tu as une famille de p vecteurs et que tu cherches à savoir si elle génère un K-ev de dim n (avec p>n), il te suffit de trouver une famille libre extraite de n vecteurs dans ta famille initiale.

Exemple trivial : soit E, ev de dim 3. La famille {(1,0,0);(1,1,1);(0,1,0);(0,0,1)} est-il générateur de E ?

bah on extrait une sous-famille de 3 vecteurs {(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)}, on vérifie bien qu'elle est libre (bon, là c'est la base canonique de R^3, d’où le trivial) puis on applique le théorème : une famille libre de n vecteurs dans un ev de dim n est une base de cet ev, donc elle est génératrice.