Etude de l'équation x^3=15x+4

[tatier]

Bonjour pouvez vous m'aider ? Voici l'exercice:
1. Conjectures à l'aide de la calculatrice
Sur la calculatrice graphique, tracer la courbe représentative de la fonction x -> x^3 et la droite d'équation y=15x+4. Emettre une conjecture sur le nombre de solutions de l'équation x^3=15x+4.
2. A l'aide d'une étude de fonction
On considère la fonction f définie sur R par:
f(x)=x^3-15x-4
a) Déterminer la fonction dérivée de f. Etudier le signe de f'(x).
b) Etablir le tableau de variation de f.
c) Utiliser le tableau de variation pour déterminer le nombre de solutions de l'équations f(x)=0 dans l'intervalle [-5;5], puis le nombre de solutions dans R. Cela confirme-t-il ou non la conjecture émise au 1.?
3) Recopier et compléter le tableau suivant.
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x) ? ? ? ? ? ? ? ? ?
En déduire un encadrement entre deux entiers consécutifs, ou la valeur exacte, de chacune des solutions.
4.Résolutions algébrique
a) Montrer que, pour tout réels x, on a:
x^3-15x-4=(x-4)(x²+4x+1)
b) Résoudre alors l'équation x^3-15x-4=0.(On vérifiera que les solutions exactes trouvées sont bien dans les intervalles obtenus à la question 1)c) (Ils ont du se tromper sur le livre car il n'y a pas de 1.c) ça doit être 2.c)).
Je n'ai pas réussi à faire le 1. , pour le 2.c) je sais qu'il y a trois solutions qui sont dans l'intervalle car j'ai regardé sur ma calculatrice mais je ne sais pas comment l'expliquer sans calculatrice, pour le 3. il y a juste à remplir le tableau c'est ça ? Et pour le 4.b) je n'arrive pas à résoudre l'équation.
Merci pour votre aide.

[Carpate]

Bonjour pouvez vous m'aider ? Voici l'exercice:
1. Conjectures à l'aide de la calculatrice
Sur la calculatrice graphique, tracer la courbe représentative de la fonction x -> x^3 et la droite d'équation y=15x+4. Emettre une conjecture sur le nombre de solutions de l'équation x^3=15x+4.
2. A l'aide d'une étude de fonction
On considère la fonction f définie sur R par:
f(x)=x^3-15x-4
a) Déterminer la fonction dérivée de f. Etudier le signe de f'(x).
b) Etablir le tableau de variation de f.
c) Utiliser le tableau de variation pour déterminer le nombre de solutions de l'équations f(x)=0 dans l'intervalle [-5;5], puis le nombre de solutions dans R. Cela confirme-t-il ou non la conjecture émise au 1.?
3) Recopier et compléter le tableau suivant.
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x) ? ? ? ? ? ? ? ? ?
En déduire un encadrement entre deux entiers consécutifs, ou la valeur exacte, de chacune des solutions.
4.Résolutions algébrique
a) Montrer que, pour tout réels x, on a:
x^3-15x-4=(x-4)(x²+4x+1)
b) Résoudre alors l'équation x^3-15x-4=0.(On vérifiera que les solutions exactes trouvées sont bien dans les intervalles obtenus à la question 1)c) (Ils ont du se tromper sur le livre car il n'y a pas de 1.c) ça doit être 2.c)).
Je n'ai pas réussi à faire le 1. , pour le 2.c) je sais qu'il y a trois solutions qui sont dans l'intervalle car j'ai regardé sur ma calculatrice mais je ne sais pas comment l'expliquer sans calculatrice, pour le 3. il y a juste à remplir le tableau c'est ça ? Et pour le 4.b) je n'arrive pas à résoudre l'équation.
Merci pour votre aide.

Les racines de l'équation : x^3 = 15x +4 sont les abscisses de points d'intersection des courbes représentatives des fonctions f(x) = x^3 et g(x) = 15x+4
Tu n'as donc plus qu'à les compter après avorr tracé ces courbes sur ta calculette ...

[tatier]

ok donc la conjecture est qu'il y a une intersection entre les deux courbes c'est ça ?
Pouvez vous m'aider pour la suite SVP ?

[Carpate]

ok donc la conjecture est qu'il y a une intersection entre les deux courbes c'est ça ?
Pouvez vous m'aider pour la suite SVP ?

Je serais tenté de voir 3 points d'intersection

[tatier]

oui c'est vrai il y en a un beaucoup plus bas et un autre beaucoup plus haut quand on agrandi la fenétre ok merci donc du coup la conjecture est qu'il y a trois points d'intersections ?
Pouvez vous m'aider pour les 2.c) SVP je sais qu'il y a trois solutions car j'ai regardé sur la calculatrice mais je ne sais pas comment l'expliquer autrement

[Carpate]

oui c'est vrai il y en a un beaucoup plus bas et un autre beaucoup plus haut quand on agrandi la fenétre ok merci donc du coup la conjecture est qu'il y a trois points d'intersections ?
Pouvez vous m'aider pour les 2.c) SVP je sais qu'il y a trois solutions car j'ai regardé sur la calculatrice mais je ne sais pas comment l'expliquer autrement

On te demande de conjecturer et pas de démontrer (à ce stade de l'exercice) Donc la visualisation graphique suffit pour conjecturer 3 racines à l'équation

[tatier]

Ok est ce que je doit les faire apparaître dans mon tableau de variation ?

[Carpate]

Ok est ce que je doit les faire apparaître dans mon tableau de variation ?

Tu ne connais pas leur valeur exacte (sauf peut-être celle qui est "évidente" : 4) mais tu peut les nommer , , et indiquer dans quel intervalle elles se trouvent

[tatier]

désolé je ne comprend pas on peut pas mettre les valeurs qu'on lit sur la calculatrice ?

[Carpate]

désolé je ne comprend pas on peut pas mettre les valeurs qu'on lit sur la calculatrice ?

Il faudrait obtenir ces valeurs par le calcul (c'est d'ailleurs ce qu'on te demandera de faire en 4-b)
Les valeurs lues ne te servent qu'à les placer dans le bon intervalle

[tatier]

Ok Merci pour ces explications.