Etude Fonction Dont On Connaît Une équation Différentielle...

[arnaudrou]

Bonjour,

Qui peut m'aider à faire mon DM de maths je suis un peu perdu pour les 3 dernieres questions.

On admet l'existence d'une fonction f, définie et dérivable sur I = [-2 ; 2], telle que, pour tout x de I, f'(x) = 1/2f²(x)+1 et f(0) = O. On note C sa courbe représentative.

1.Donner les variations de f sur I.
--> F croissante
2.Montrer que la droite T d'équation y = x est la tangente à C au point de C d'abscisse 0.
--> f'(0) = 1/2 f²(0) + 1 = 1
y = f'(0) (x-0) + f(0)
y= 1(x-0) + 0
y = x

3. On définit sur I la fonction g par g(x) = f(x) — x.
a)Justifier la dérivabilité de g sur I et prouver que g'(x)=1/2f²(x).
-->g dérivable comme somme de fct dérivables sur I

b)Donner les variations de g sur I.
--> g croissant sur I

c) En déduire le signe de g(x) sur I puis les positions relatives de C et T.
---> g négatif sur [-2 ; 0] et postif sur [0; 2]
donc C au dessus sur [0; 2] mais en dessous sur [-2; 0 ]

4. Justifier l'existence de f" (la dérivée seconde de f). Calculer f"(x), puis f"(0).

5.Utiliser la méthode d'Euler pour représenter une approximation de f sur [-2 ; 2] par une fonction g affine par morceaux sur l'intervalle [-2 ; 2] avec le pas 0,1.

6.On se propose de prouver qu'il existe une seule fonction du type f(x)= a tan (bx).
Déterminer les réels a et b pour que la fonction f vérifie pour tout x de I, f'(x)= 1/2f²(x)+1 et f(0)=0.

Merci d'avance pour votre aide