Problème: dérivées et équations différentielles

[j480]

bonjour, j'ai un exercice a préparer pour un partiel et je suis bloqué:

si on admet que la vitesse de diminution de ta température pendant le coucher et le lever du soleil est proportionnelle a T^4 ou T désigne la température: a combien peut on estimer la température a deux heures du matin s'il faisait :
24 degrés au moment du coucher du soleil a 20h
16 degrés au moment du lever du soleil a 6h

conseil: vous pourrez montrer dans un premier temps que la température T suit en fonction du temps la loi : T(t)= racine3eme(1/(3(kt-C))) ou k et c sont des constantes

quelqu'un pourrait m'aider svp ?

[Black Jack]

La diminution de ta température pendant le coucher et le lever du soleil est proportionnelle à T^4 se traduit mathématiquement par : dT/dt = -k.T^4

dT/T^4 = -k.dt

On intègre ---> -(1/3).1/T³ = -k.t + C

(1/3).1/T³ = k.t - C

T³ = 1/(3.(k.t - C))

T = racinecubique[1/(3.(k.t - C))]

****

En prenant t = 0 à 20h, on a à 16h, t = 24-20 + 6 = 10

T(0) = 24+273 = 297 K
et
T(10) = 16 + 273 = 289 K

Cela permet de déterminer les valeurs numériques de k et C ...

Il reste ensuite à calculer pour 2 h du matin, soit pour t = 24 - 20 + 2 = 6 h

T(6) = ... K

Et ensuite convertir cette réponse en °C

:zen:

[j480]

merci beaucoup !
je n'arrive pas a calculer avec la racine 3ème ...

[j480]

je tombe sur du -100 degrés... c'est froid

[Black Jack]

merci beaucoup !
je n'arrive pas a calculer avec la racine 3ème ...

C'est pourtant élémentaire.

T = racinecubique[1/(3.(k.t - C))]

T(0) = 24+273 = 297 K
et
T(10) = 16 + 273 = 289 K
*****
T(0) = 297
racinecubique[1/(-3C))] = 297
On élève des 2 membre à la puissance 3 --->
1/(-3c) = 297³
C = -1/(3*297³) = -1,272.10^-8 (SI)

T(10) = 289
racinecubique[1/(3.(10k + 1,272.10^-8)] = 289
On élève les 2 membres à la puissance 3 ... et on arrive à k = 1,09.10^-10 (SI)

T = racinecubique[1/(3.(1,09.10^-10.t + 1,272.10^-8))]
Avec T en K et t en h

...

Essaie donc de refaire ces calculs, cela te permettra de voir si je ne me suis pas trompé quelque part.


:zen:

[j480]

je trouve 19.20 degrés ! j'avais mal mis mes parenthèses

[j480]

petite question: pourquoi est ce qu'on utilise les Kelvin ?

[j480]

merci beaucoup, grâce a vous je vais bien dormir car j'ai trouvé :)