Equations aux dérivées partielles, probleme sur TOUT le doma

[Scapin]

Bonjour !

J'ai un petit problème avec la résolution d'une équation aux dérivées partielles. J'arrive bien à la résoudre sur privé du demi axe des x negatifs, mais pas sur privé seulement de l'origine ... Un petit coup de main ?
Voici le début de ma résolution :

Déterminer l'ensemble S des éléments f de
tels que, pour tout élément (x,y) de :

(E)

Notons et .
Soit .
p est bijective.
p est C^1 car ses composantes le sont comme composées de fonctions C^1.



Soient et . Alors pour tout
Pour tout ,


Donc si f vérifie (E) alors pour tout .
Réciproquement, si pour tout , alors vérifie (E) sur , puisque p est surjective.
Donc puisque .





Il ne reste plus qu'a passer de à S, et c'est là que je bloque !

Autre question sans rapport avec la précédente : Mon prof m'a dit qu'il fallait montrer que mon application p définie ci-dessus réalisait un C1-difféomorphisme, mais je ne vois pas pourquoi : je ne me suis servi que du caractère bijectif (voire meme surjectif non ?).

Merci pour votre aide !

[lionel52]

Pour que p soit un difféomorphisme tu peux montrer que le jacobien est non nul en tout point!

[Scapin]

Oui oui je sais comment le montrer, mais c'est pourquoi il faut montrer que c'est un difféomorphisme qui est obscure !

Merci

[Scapin]

Oui oui je sais comment le montrer, mais c'est pourquoi il faut montrer que c'est un difféomorphisme qui est obscure !

Merci

[Pythales]

Bonjour !

J'ai un petit problème avec la résolution d'une équation aux dérivées partielles. J'arrive bien à la résoudre sur privé du demi axe des x negatifs, mais pas sur privé seulement de l'origine ... Un petit coup de main ?
Voici le début de ma résolution :







Notons et .
Soit .
p est bijective.
p est C^1 car ses composantes le sont comme composées de fonctions C^1.



Soient et . Alors pour tout
Pour tout ,


Donc si f vérifie (E) alors pour tout .
Réciproquement, si pour tout , alors vérifie (E) sur , puisque p est surjective.
Donc puisque .





Il ne reste plus qu'a passer de à S, et c'est là que je bloque !

Autre question sans rapport avec la précédente : Mon prof m'a dit qu'il fallait montrer que mon application p définie ci-dessus réalisait un C1-difféomorphisme, mais je ne vois pas pourquoi : je ne me suis servi que du caractère bijectif (voire meme surjectif non ?).

Merci pour votre aide !

Moi je trouve simplement

[Scapin]

Comment as tu fait ?

[Scapin]

Comment as tu fait ?

[Scapin]

S'il vous plait ! :)

[jlb]

S'il vous plait !

je ne comprends pas pourquoi tu utilises cet ensemble D: tu utilises une méthode de changement de variable, le caractère bijectif assure que ton application est injective et donc le caractère local du changement de variable ( jacobien non nul, c'est cela qui assure le changement de coordonnées LOCALEMENT!!) devient global. les messages précédents t'incitent à étudier le jacobien de ton application car le seul point où il s'annule est le point (0,0).

( car en gros, ton application est une composée du passage en coordonnée polaire et d'une application linéaire (u,v) -->(u, 0,5v)

je ne sais pas si cela t'aidera et si ce n'est pas trop tard!!