Exercice topologie

[gamelle]

Bonjours
je viens de commencer la topologie et
j'ai un exercice à faire et je ne vois pas comment faire la deuxième question

Rappelons l’expression des normes et sur :
= et = :
Notons B1(a; r) et B2(a; r) les boules ouvertes correspondant à et .
1. Démontrer que est une norme sur . Dessiner sa boule unite ouverte.
2. Quel est le rayon minimal r vérifiant ((0; 0), 1)((0; 0), r)
Faites un dessin et justifier par un argument géométrique simple.

1) a) ====

b)=0 |x|+|y|=0 (x,y)=0

c) Soit et

= = + (est ce que c'est bon ?)

boule unité ouverte
= {[TEX](x,y) \in R^2 / ||(x,y)||_1|x|+|y||y||x|-1 si x0, x-1<y<1-x

et donc j'obtiens un losange

par contre pour la question 2 j'ai un problème ,je ne vois pas ce qui faut faire.

[Le_chat]

Salut. Tu vois la tête d'une boule pour la norme 1? et pour la norme 2?

[gamelle]

Salut. Tu vois la tête d'une boule pour la norme 1? et pour la norme 2?

la boule unité 1 c'est un losange et la boule unité 2 c'est un cercle non? et donc?

[Le_chat]

La boule en norme 1 c'est même un carré. Ben alors si tu fais un dessin, ça va marcher non?

Tu dessines un cercle de rayon 1, et tu veux qu'il soit inscrit dans un carré. Il faut donc trouver le coté de ce carré.

[gamelle]

La boule en norme 1 c'est même un carré. Ben alors si tu fais un dessin, ça va marcher non?

Tu dessines un cercle de rayon 1, et tu veux qu'il soit inscrit dans un carré. Il faut donc trouver le coté de ce carré.

le coté du carré est égale à 2

[Le_chat]

T'es sur que c'est 1 le rayon?

Sinon, en faisant un dessin ça suffit. Tu dessines le carré qui est la boule unité de la norme 1, et ensuite tu dis que la boule qui vérifie la condition du 2 c'est celle telle que le carré soit pile poil inscrit dedans, qui est donc de rayon...

[gamelle]

bon voila ce que j'ai fait

j'ai fait mon dessin et pour que mon cercle C soit inscrit dans le carré abcd il faut que les cotés soient au moins égaux au diamètre du cercle c'est à dire 2.

pour trouver le rayon minimal r je vais calculer la diagonale du carré on va prendre bd par exemple

avec le théorème de pythagore


donc

le rayon de doit être au moins égale pour que

j'ai petetre fait n'importe quoi je ne sais pas mais bon ^^ je n'ai pas fait de géométrie depuis la seconde et de maths depuis 3 ans donc la topo c'est un peu hardcore

[Le_chat]

Attention ton carré pour la norme 1, il est de diagonale 2, pas de coté 1! (de coté sqrt(2)). C'est le carré qui a pour sommets les points (0,1), (1,0), (0,-1) et (-1, 0).

Sinon tu peux faire une preuve purement calculatoire, il faut montrer que si |x|+|y|<1, alors sqrt(x^2+y^2)<1, ce qui n'est pas très dur.

[gamelle]

Attention ton carré pour la norme 1, il est de diagonale 2, pas de coté 1! (de coté sqrt(2)). C'est le carré qui a pour sommets les points (0,1), (1,0), (0,-1) et (-1, 0).

Sinon tu peux faire une preuve purement calculatoire, il faut montrer que si |x|+|y|<1, alors sqrt(x^2+y^2)<1, ce qui n'est pas très dur.

je suis dsl mais je n' ai pas bien compris

Citation:
Posté par Le_chat
La boule en norme 1 c'est même un carré. Ben alors si tu fais un dessin, ça va marcher non?

Tu dessines un cercle de rayon 1, et tu veux qu'il soit inscrit dans un carré. Il faut donc trouver le coté de ce carré.

[bentaarito]

Il suffit de voir que
( en fait les deux normes ici sont équivalentes )

[gamelle]

ok je vais me rabattre sur cette solution merci pour votre aide ^^