Ensemble de points

[geekette]

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[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour,
j'ai un exercice ou je dois trouver un ensemble que je n'arrive pas trop à faire.
Dans les données, j'ai:
B et C tel que

1) Déterminer l'ensemble des points M de l'espace vérifiant:
2) Déterminer l'ensemble des points M de l'espace vérifiant:
(on s'aidera de barycentre des pts B et C)

Ce que j'ai fait:





Soit G barycentre de (B,2) et (B,3) et G' barycentre de (B,2) et (C,-3)


et ensuite je ne sais pas.

Merci d'avance pour votre aide

Salut,

Cela te donne vec(MG).vec(MG')=-4 donc tu en déduis que...

[geekette]

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[Kikoo <3 Bieber]

Message supprimé car n'importe quoi.

[geekette]

[CENTER]tout est supprimée[/CENTER]

[geekette]

[CENTER]tout est supprimée[/CENTER]

[Doraki]

Par projection de M sur la droite (GG'), point que l'on note H, on retraduit ce produit scalaire en :
(MG|MG')=(HG|HG')

Non

4MB² - 9MC² = 20
Si G est un point quelconque, en disant que MB = MG+GB et MC = MG+GC, on obtient que
4MB² - 9MC² = -5 MG² + 2MG.(4GB-9GC) + (4GB²-9GC²)

Soit G le barycentre de (B,4)(C,-9).
Alors 4MB² - 9MC² = -5 MG² + 4GB²-9GC², donc l'équation devient 20 = -5 MG² + 4GB² - 9GC², soit
MG² = (-20 - 9GC² + 4GB²)/5 : Pourvu que le machin à droite soit positif, le lieu est un cercle de centre G et de rayon un truc horrible.

Il reste à simplifier ce rayon. Ce serait bien de l'exprimer en fonction de BC².
B,C,et G sont alignés, donc il existe x tel que GB = x.BC et GC = (x+1).BC
4GB-9GC = 0 donc 4x-9(x+1)= -5x-9 = 0, donc x = -9/5,
donc GB² = (9/5)² BC² et GC² = (4/5)² BC², donc 4GB²-9GC² = ((324-144)/25) BC² = (36/5) BC²

Finalement, l'équation est donc MG² = (-20 + 36/5 BC²)/5 = (36 BC² -100)/25
BC = 13 donc ça fait MG² = 5984/25, qui est positif, donc on a bien un cercle.

[Kikoo <3 Bieber]

Non

4MB² - 9MC² = 20
Si G est un point quelconque, en disant que MB = MG+GB et MC = MG+GC, on obtient que
4MB² - 9MC² = -5 MG² + 2MG.(4GB-9GC) + (4GB²-9GC²)

Soit G le barycentre de (B,4)(C,-9).
Alors 4MB² - 9MC² = -5 MG² + 4GB²-9GC², donc l'équation devient 20 = -5 MG² + 4GB² - 9GC², soit
MG² = (-20 - 9GC² + 4GB²)/5 : Pourvu que le machin à droite soit positif, le lieu est un cercle de centre G et de rayon un truc horrible.

Il reste à simplifier ce rayon. Ce serait bien de l'exprimer en fonction de BC².
B,C,et G sont alignés, donc il existe x tel que GB = x.BC et GC = (x+1).BC
4GB-9GC = 0 donc 4x-9(x+1)= -5x-9 = 0, donc x = -9/5,
donc GB² = (9/5)² BC² et GC² = (4/5)² BC², donc 4GB²-9GC² = ((324-144)/25) BC² = (36/5) BC²

Finalement, l'équation est donc MG² = (-20 + 36/5 BC²)/5 = (36 BC² -100)/25
BC = 13 donc ça fait MG² = 5984/25, qui est positif, donc on a bien un cercle.

Aïe aïe aïe aïe aïe...
Merci pour le retour, je commançais à me demander si ce que j'avais dit était bancal.

Et désolé pour geekette :/

[geekette]

[CENTER]tout est supprimée[/CENTER]

[chan79]

Bonjour Doraki, merci pour votre réponse. Je ne vais pas mentir, je n'ai pas tous compris, mais je vais tous relire et faire des dessins et les calculs pour comprendre parfaitement.

Kikoo <3 Bieber: ce n'est rien, vous m'avez quand même aidé au final.

je vais essayé de faire le deuxième en m'inspirant du premier, en espérant qu'il ya une ressemblance dans la méthode à utiliser

Un grand emrci à tous deux

Salut
Si MG est constante, ce serait plutôt une sphère

[geekette]

[CENTER]tout est supprimée[/CENTER]

[chan79]

Salut chan79,
M ne change pas car c'est un point quelconque mais pour G je ne sais pas. Etant considéré comme un barycentre je pense que celui ci ne change pas.
Mais pour quel raison dans le deuxième on m'écrit pour m'aider dans l'énoncé: "on s'aidera de barycentre des pts B et C bien choisies"

Tout ce qu'a écrit Doraki est parfaitement correct; B et C sont fixes et G aussi
L'ensemble des points M est une sphère dont le carré du rayon est 5984/25

[geekette]

[CENTER]tout est supprimée[/CENTER]

[Doraki]

Ah oui on est dans l'espace c'est une sphère.

Pour la 2ème, oui tout devrait marcher de la même façon.
C'est juste que les calculs ne sont pas très amusants.

[geekette]

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[chan79]

ok, Un grand merci à vous Doraki (ainsi qu'à Kikoo <3 Bieber et chan79), car je m'étais complètement trompé sur cet exercice.
Je vous souhaite une agréable fin de journée et un bon week end.
Au revoir :id: et encore merci

Pour compléter
tu avais trouvé
Si I est le milieu de [GG']

on en déduit

or




le centre de la sphère est le milieu de tes deux barycentres G et G'

[geekette]

[CENTER]tout est supprimée[/CENTER]

[chan79]

Ahhh merci Chan79, c'est une autre manière d'approchez l'exercice et ca permet de me faire travailler les barycentres. Merci
J'ai une dernière question: est ce que celà aurait pu être possible de ne pas avoir d'ensemble de point ?
(ex si le rayon est négatif,non ?)

donne soit l'ensemble vide, soit un point,soit une sphère (en dimension 3)
Tu peux montrer que ça dépend du signe de k+AB²/4

[geekette]

[CENTER]tout est supprimée[/CENTER]

[chan79]

Oui , j'ai déjà fait un exercice sur celà ou je devait étudier le signe de k+AB²/4.

Et bien je vous remercie encore une nouvelle fois, ainsi que les autres personne m'ayant aidé.
Bonne journée et merci

Allez, tiens, juste pour le fun, encore une autre approche
On a
Imaginons un repère orthonormé, d'origine B tel que les coordonnées de C soient (13,0,0)
G est le barycentre de {(B,2),(C,3)}
G' est le barycentre de {(B,2),(C,-3)}
cela donne G(39/5,0,0) et G'(39,0,0)
se traduit par
(39/5-x)(39-x)+y²+z²=-4 avec M(x,y,z)
x²-x*234/5+1521/5+y²+z²=-4
(x-117/5)²-13689/25+1521/5+y²+z²=-4
(x-117/5)²+y²+z²=5984/25
on reconnait l'équation de la sphère de centre (117/5,0,0) dont le carré du rayon est 5984/25
Puisque (39/5+39)/2=117/5 on vérifie que le centre de cette sphère est le milieu de [GG'].
C'est aussi le barycentre de {(B,4),(C,-9)}
en effet (-9)*13/(-5)=117/5