Etude d'une suite.

[MxthildeM]

Bonsoir à tous, j'aurais aimé un peu d'aide concernant un exercice..
Soit une suite x définie par x0=2 et xn+1=1/2 (xn+2/xn).
On considère la fonction g définie sur ]0; +[ par g(x)= 1/2(x+2/x).
-La première question consistait à étudier les variations de g(x) sur [2; +infini[ .
(J'ai donc trouvé que g(x) était strictement croissante sur cet intervalle.)
-Il faut ensuite démontrer que la suite x est décroissante, et démontrer que x est convergente et calculer sa limite. (C'est cette question qui me pose problème)Merci d'avance pour votre aide.

[nodjim]

En traçant le graphe de la courbe et son symétrique (c'est à dire en inversant y avec x) le caractère convergent de la suite apparait immédiatement. Mais ce n'est pas très académique comme procédé.
Sinon, tu pex tjs essayer de calculer un+1/un.

[MxthildeM]

En traçant le graphe de la courbe et son symétrique (c'est à dire en inversant y avec x) le caractère convergent de la suite apparait immédiatement. Mais ce n'est pas très académique comme procédé.
Sinon, tu pex tjs essayer de calculer un+1/un.

Es-ce que je dois calculer u(n+1)/u(n) ou u(n+1) - u(n) ?
Et pour la convergence, j'ai essayer de calculer la limite, mais cela n'a rien donné..

[Dinozzo13]

.

.

Pour montrer que est décroissante comme l'exigerai l'exercice, tu dois utiliser un raisonnement par récurrence.
- montrer que ;
- suppose que , montre alors, en utilisant la fonction et le fait que est croissante, que .

:++:

[MxthildeM]

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Pour montrer que est décroissante comme l'exigerai l'exercice, tu dois utiliser un raisonnement par récurrence.
- montrer que ;
- suppose que , montre alors, en utilisant la fonction et le fait que est croissante, que .

:++:

Oui merci, j'ai réussi à démontrer que la suite était décroissante.
Cependant, pour la convergence je reste bloquée..
Est-ce qu'en calculant la limite de X(n+1) ça fonctionnerait?

[Dinozzo13]

Pour montrer que converge, tu dois montrer, dans ce cas, que est décroissante et qu'elle est minorée.

[MxthildeM]

Pour montrer que converge, tu dois montrer, dans ce cas, que est décroissante et qu'elle est minorée.

D'accord. Une démonstration par récurrence était demandée dans les questions précédentes. Il fallait démontrer que X(n) était supérieure ou égale à racine de 2 .
Est-ce que je peux utiliser cette égalité pour démontrer que la suite est minorée par racine de 2 ?
Merci beaucoup en tout cas, ça m'a beaucoup aidé.

[Elerinna]

Il fallait démontrer que X(n) était supérieure ou égale à racine de 2 .
Est-ce que je peux utiliser cette égalité pour démontrer que la suite est minorée par racine de 2 ?

Oui. Or, un petit correctif s'impose à la définition fournie ci-avant : (En effet, la fonction approximée par la suite est fonction de et non de l'élément indicé )

[Dinozzo13]

Si est décroissante et minorée par alors converge vers un réel solution de l'équation . Résous donc pour trouver .

[MxthildeM]

Si est décroissante et minorée par alors converge vers un réel solution de l'équation . Résous donc pour trouver .

Merci beaucoup ! Tout ça m'a beaucoup aidé .