Fonction et Dérivabilité

par **Luthy** » 23 Fév 2012, 17:48

Bonjour gros problème qui bloc l'avancé de mon exercices

Alors on me donne la fonction f(x) = ln (1 + x) / x

j'en suis plus loin on me dit

Établir que pour tout x strictement positif on a :

-1/2 << ln(1+x) - x / x² << -1/2 + x / 3

En déduire que f dérivable en 0 et que f'(0)=-1/2

J'ai réussi a établir la relation mais je n'arrive pas la deuxième partis de la question help plz

par **Manny06** » 23 Fév 2012, 19:06

Luthy a écrit:Bonjour gros problème qui bloc l'avancé de mon exercices

Alors on me donne la fonction f(x) = ln (1 + x) / x

j'en suis plus loin on me dit

Établir que pour tout x strictement positif on a :

-1/2 << ln(1+x) - x / x² << -1/2 + x / 3

En déduire que f dérivable en 0 et que f'(0)=-1/2

J'ai réussi a établir la relation mais je n'arrive pas la deuxième partis de la question help plz

je suppose que la fonction est definie sur ]-1;0[U]0;+infini[ et qu'on l'a prolongée en 0 par continuité en posant f(0)=1
dans ce cas on t'a fait encadrer (f(x)-f(0))/x dont la limite en 0 est f'(0)

par **Luthy** » 23 Fév 2012, 19:08

Manny06 a écrit:je suppose que la fonction est definie sur ]-1;0[U]0;+infini[ et qu'on l'a prolongée en 0 par continuité en posant f(0)=1
dans ce cas on t'a fait encadrer (f(x)-f(0))/x dont la limite en 0 est f'(0)

Elle es définie sur ]0;+infini[

par **Manny06** » 23 Fév 2012, 19:12

Luthy a écrit:Elle es définie sur ]0;+infini[

si elle n'est pas définie en 0 elle ne peut être derivable en 0

par **Luthy** » 23 Fév 2012, 20:10

Manny06 a écrit:si elle n'est pas définie en 0 elle ne peut être derivable en 0

on a comme info suplémentaire f(0)=1 et pour x>0 elle es défini par f(x) = ln (1+ x) / x

par **Manny06** » 23 Fév 2012, 22:44

Luthy a écrit:on a comme info suplémentaire f(0)=1 et pour x>0 elle es défini par f(x) = ln (1+ x) / x

donc ça correspond bien à ce que je t'ai dit
on t'a fait encadrer le taux de varaition ensuite tu fais tendre x vers o et tu appliques le théorème des gendarmes

par **Luthy** » 23 Fév 2012, 23:36

Comment on peut montrer qu'elle es dérivable sachant qu'elle es continue en 0?

on fait f'(0) = f(x) - f(0) / x - 0 donc f'(0) = f(x)- x / x et d'après le théorème des gendarmes f'(0) = -1/2 ?

par **Manny06** » 24 Fév 2012, 08:26

Luthy a écrit:Comment on peut montrer qu'elle es dérivable sachant qu'elle es continue en 0?

on fait f'(0) = f(x) - f(0) / x - 0 donc f'(0) = f(x)- x / x et d'après le théorème des gendarmes f'(0) = -1/2 ?

Non
f'(0) = limite quand x tend vers 0 de ((f(x)-f(0))/x

par **Luthy** » 24 Fév 2012, 10:34

Manny06 a écrit:Non
f'(0) = limite quand x tend vers 0 de ((f(x)-f(0))/x

Ahhh je crois j'ai compris et comme la limite est un nombre fini elle es donc dérivable en 0

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