Dérivabilité de la fonction " racine carrée "

[rose075]

Bonsoir !

Notre prefesseur de mathématiques organise toute les semaines un jours ou chacun échanges ces exercices par avec les autres groupes afin d'approfondir les connaissances.

Notre sujet cette semaine est LA DERIVABILITE DE LA FONCTION RACINE CARREE .
Nous devions faire un exercice sur ce thème ( le professeur nous a aidé ) et l'échangé lundi avec mes camarades .
Voici ce qu'on nous avons fait :

f(x)=racine x dans l'intervalle [o;+ l'infini]

1) soit A le point de C d'abscisse 1
a) demontrer que pour tt reel non nul h>-1
f(1+h)-f(1)/h = 1/ (racine 1+h)+1 sa je les fait

b)en deduire que la fonction f est derivable en 1 et preciser f'(1)

c) determiner une equation de la tengante de C du point A

2)on designe par M un point quelconque de la courbe C distinct de o par h son abscisse et par T(h) le coefficient directeur de la droite (OM)

a) demontrer que T(h) = 1/ (racine h)

calculer les valeurs de T(h) lorsque h prend les valeur 10^-1 10^-2 10^-3 10^-4 etc
que constate-t-on?

b) Pour quelles valeurs de h , a t-on T(h) superieur à 10000 ? T(h) superieur à 10^20 ?

Plus généralement , on peut démontrer que T(h) peut être superieur à n'importe quel nombre choisi au départ dès que h est suffisamment proche de 0 .
On dit que la limite de T(h) en 0 est égale à + l'infini .
Comme cette limite n'est pas un nombre réel , la fonction f n'est pas dévirable en 0 .
C) La courbe C admet-elle une tangente en 0 .

3) En vous inspirant de la premiere question , démontrer que , pour tout réel a superieur à 0 , la fonction " racine carrée" est dérivable en a tel que :
f ' ( a ) = 1 sur 2racine de a .

Nous avons fini l'énoncé et la biensur la correction nous même aujourd'hui .

Nous voudrions ( svp ) que vous fassiez cette exercice afin de voir si il est à la possibilité de tout le monde ou plutot dure ( parce qu'on voudrais que ça soit un peu dure ^^ )

Biensur si vous le désiré je mettrai le corrigé après vos réponses pour que vous y voyez plus claire .

Bonne soirée et bon courage ^^

[Dinozzo13]

En fait, tu voudrais rendre l'exo plus dur ?
Tu peux soit rajouter des questions, soit supprimer des questions pour moins guider la personne dans la résolution de cet exo.

[rose075]

Non enfaite je voudrais juste savoir si vous arrivez a résoudre les questions ^^ c'est pour ça que je vous demande d'essayer de le faire , pour comparer nos réponses avec les votres ^^

Bonne soirée et bonne chance

[Paco96]

Bonjour,
J'ai un devoir très important à faire en maths et l'un des exercices porte sur l'étude de la dérivabilité en 0 de la fonction x racine carrée de x
A priori, le problème est simple puisque le calcul du taux d'accroissement en 0 de la fonction m'indique : racine carrée de h
La limite, lorsque h tend vers 0, serait donc 0.
Ce nombre étant un réel, la fonction serait donc normalement dérivable en 0.
Pourtant je suis persuadé que cette réponse est fausse :
1-La vérification à la calculette m'indique cette fonction n'est pas dérivable en 0.
2-L'allure de la courbe semble révéler l'existence d'un point anguleux en 0 donc pas de tangente en ce point.
3-L'exo du livre est à la fin du chapitre (=problème supposé difficile)
En fait, il semblerait que la fonction soit seulement dérivable à droite en 0.
Mais voila : comment le démontrer mathématiquement ???
Je sais que ce cas a été évoqué dans d'autres sujets mais personne semble vraiment expliquer la démarche pour prouver que la fonction est dérivable à droite en 0.
Le travail est à rendre dans peu de temps et j'aimerai donc avoir vos éclairages au plus vites.
Sauvez moi !!!
Merci d'avance.