Derivabilité d'une fonction

[nico033]

bonjour, jai un probleme sur une question de derivabilité:

on me demande de montrer que f est derivable sur IR sachant que

f(x) =x²-2 ln(exp(x)-x).

moi javais pensé à utiliser:

f(a+h)-f(a)/h = nombre réel
h tend vers 0

mais le probleme qui se pose, cest que je ne connais pas la valeur a.

donc comment puisse je faire pour montrer que f est derivable ici
donc comment peut on faire? pourriez vous maider sil vous plait merci

[Monsieur23]

Bonjour,

Tu sais que la somme de deux fonctions dérivables est une fonction dérivable ...

Pour x², pas de problèmes, elle est dérivable sur ..

En revanche, Ln n'est dérivable que sur

A toi de prouver que ce qui est dans le Ln est toujours strictement positif

Bon courage,
Mr.23

[nico033]

ben justement cest la que je ne sais pas pourriez vous maider sil vous plait merci

[Monsieur23]

Peut-être en étudiant la fonction :


A toi de jouer ...

[nico033]

en etudiant la fonction exp(x) - x

on trouve que f'(x) = exp(x) -1

donc la variation de f(x) sur IR est
decroissante sur ]-infini, 0[ et ]0, +infini[ la fonction est croissante

[Monsieur23]

Et ... quelle est la valeur de cette fonction en 0 ?

Que peux tu en déduire sur le signe de f ?

[nico033]

daccor je vais essayer de continuer

je peux vous poser une question:

on me demande de montrer que f(x) = x²-2x-2*ln(1-xexp(-x)) à partir de la fonction f qui est x²-2*ln(exp(x)-x
comment faire, car je ne vois pas

[Monsieur23]

f(x) = x²-2x-2*ln(1-xexp(-x)) à partir de la fonction f qui est x²-2*ln(exp(x)-x

Essaye de factoriser Exp(x) dans le Ln

[nico033]

oh la la cest complique ca, je ne sais pas trop manier les exp et les ln en meme temps

[Monsieur23]

Eh bien, commence à faire sans le Ln

Exp(x) -x = Exp(x) [ 1 - x*(1/Exp(x)) ]

Et 1/Exp(x) = Exp( ?? ) ??

[nico033]

exp(1/x) = exp(-x)

[nico033]

Exp(x) [ 1 - x*(1/Exp(x)) ]
donc exp(x) = [1 - x*(exp(-x))]
mais apres je fais quoi?

[Monsieur23]

donc exp(x) = [1 - x*(exp(-x))]

Non !

Exp(x) - x = Exp(x) [ 1 - Exp(-x) ] ...

Donc ton expression devient f(x) = x² - 2*Ln( Exp(x) [ 1 - Exp(-x) ] )

Maintenant tu dois utiliser les propriétés du Logarithme...

Ln( ab ) = Ln(a) + Ln(b)

[nico033]

(x) = x² - 2*Ln( Exp(x) [ 1 - Exp(-x) ] )

Ln( ab ) = Ln(a) + Ln(b)

donc ici on aurait:
x²-2*ln(exp(x)) + ln(1-exp(x)).
x²-2*x + ln(1-exp(x))

mais apres je fais comment

[Monsieur23]

montrer que f(x) = x²-2x-2*ln(1-xexp(-x)) à partir de la fonction f qui est x²-2*ln(exp(x)-x

Exp(x) - x = Exp(x) [ 1 - x*[Exp(-x) ] ...

Donc ton expression devient f(x) = x² - 2*Ln( Exp(x) [ 1 - x*Exp(-x) ] )

Oups, j'ai oublié un x ...

Enfin, sinon tu corriges tes erreurs de signes, et tu auras ce que tu veux

[nico033]

f(x) = x² - 2*Ln( Exp(x) [ 1 - x Exp(-x) ] )

Ln( ab ) = Ln(a) + Ln(b)

donc ici on aurait:
x²-2*ln(exp(x)) + ln(1-x exp(-x)).
x²-2*x + ln(1-x exp(-x))

mais apres cela donne pas ce quil ont demande

car nous on veut obtenir f(x) = x²-2x-2*ln(1-xexp(-x))

[Monsieur23]

Enfin, sinon tu corriges tes erreurs de signes, et tu auras ce que tu veux

Je répète mon conseil

[nico033]

et bien cest ce que jai fais je comprend pas

jai rectifie un peu plus haut mais je nai pas la meme chose quil faut trouvé!!

[Monsieur23]

f(x) = x² - 2*Ln( Exp(x) [ 1 - x Exp(-x) ] )
f(x) = x² - 2*[ Ln( Exp(x) )+ Ln( 1 - x Exp(-x) ) ]
f(x) = ...

[nico033]

x²-2*ln(exp(x)) + ln(1-x exp(-x)).
x²-2*x + ln(1-x exp(-x))

mais apres cela donne pas ce quil ont demande

car nous on veut obtenir f(x) = x²-2x-2*ln(1-xexp(-x))