Etude de la dérivabilité de la fonction racine carrée en 0

[Golan]

Bonjour, je bloque depuis ce matin sur cet exercice à la question 1.
J'aurais donc besoin de votre aide.


f est la fonction définie sur [0;+;)[ par f(x) = ;)x

1. Montrer que pour tout h > 0, le taux de variation de f entre 0 et 0+h est 1/;)h.

Je n'arrive pas à retrouver le schéma typique des exercices que j'ai fait en cours. a= ?

2. On note g la fonction définie sur ]0;+;)[ par : g(h) = 1/;)h (on conserve l'écriture de g(h) avec le radical au dénominateur).

a. Dans quel intervalle choisir h pour que g(h) ;) 10^6 ?
b. Dans quel intervalle choisir h pour que g(h) ;) 10^100 ?

D'une façon plus générale, on démontre que g(h) peut dépasser n'importe quel nombre, aussi grand soit il, pourvu que h soit assez proche de 0. On dit alors que g admet +;) pour limite en 0.

3. En déduire que f n'est pas dérivable en 0.

4. La courbe C représentant f dans un repère admet l'axe des ordonnées pour tangente à l'origine O. Expliquer pourquoi.

5. Tracer la courbe C.


Merci d'avance.

[Mortelune]

Bonjour, pour la première question quelle est la définition du taux de variation?

[Golan]

Le taux est [f(h)-f(0)] / h .
Donc en remplacant ca donne (;)h - ;)0)/h mais je ne vois pas comment arriver à 1/;)h.

[Mortelune]

[Golan]

(;)h)² = h donc ca donne h/h² si on met le tout au carré et c'est égal à 1 / ;)h.

[Mortelune]

ça donne surtout le résultat demandé si on simplifie par ;)h

[Golan]

Oui j'ai édité.
Maintenant je bloque aussi sur la 2.a. et b.

1/;)h ;) 10^6 mais comment le résoudre ?

[Mortelune]

là tu passes au carré comme tu n'as que des nombres positifs ça ne pose pas de problème, c'est du "simple" travail sur les inégalités.

[Golan]

Si je met tout au carré j'obtiens 1/h - 10^12 ;) 0.

[Mortelune]

oui mais tu n'étais pas obligé de "passer le 10^12 de l'autre côté".

[Golan]

Ok mais le calcul est fini ?
Je n'ai pas bien compris si c'est ca.

[Mortelune]

Non pour déterminer le h, il faut qu'il soit au numérateur, ici on pourra penser à la fonction inverse.

[Golan]

Donc pour que g(h) ;) 10^6 h doit être sur ]-;); 10^-12] ou [0;10^-12] ?

Pour que g(h) ;) 10^100 h doit être sur ]-;); 10^-10000] ou [0;10^-1000] ?

[Mortelune]

L'énoncé répond à cette question :

g la fonction définie sur ]0;+;)[

Donc h est compris dans l'intervalle donné et en plus g n'est pas définie en 0.

[Golan]

Je ne comprend plus rien là. Que faut il alors répondre à :
a. Dans quel intervalle choisir h pour que g(h) ;) 10^6 ?
b. Dans quel intervalle choisir h pour que g(h) ;) 10^100 ?

[Mortelune]

g(h) 10^100

Sous entendu : g(h) 10^100 > 0

Rien de plus compliqué que ce que tu as fait, il ne faut seulement pas l'oublier et si tu l'utilises tu n'hésiteras pas sur ta réponse.

[Golan]

Ah oui je n'avais pas vu, donc c'est le 2eme intervalle avec 0 exclu.
]0;10^-12]
]0;10^-1000]

[Mortelune]

Oui c'est bien ça.

[Golan]

Pour la question 3 je calcule f'(h) ?

[Mortelune]

Non, tu reprends ton début de cours sur les dérivées tu dois voir qu'il y a une condition sur le taux d'accroissement pour qu'une fonction soit dérivable en un point.