Derivabilité d'une fonction

[Monsieur23]

Le -2 est en facteur .... :we:

[nico033]

ok jai compris merci

[nico033]

et maintenant il faut calculer la dérivée de f(x) et en deduire son tableau de variation voici ce que jai fais et dites moi si cela est juste ou pas

et en plus il nous dise quil vous arriver a
f'(x) = 2*(x-1)*(exp(x)-x-1)/(exp(x)-x).


et moi je ny arrive pas a retrouver cela voici ce que jai fais:

[Monsieur23]

f(x) = x² - 2*[ Ln( Exp(x) )+ Ln( 1 - x Exp(-x) ) ]

Ln(Exp(x)) = x

f(x) = x² - 2x -2 Ln( 1 - x Exp(-x) )


J'avoue ne pas voir ce que tu ne comprends pas là ... :hein:

[Monsieur23]

et maintenant il faut calculer la dérivée de f(x)

Ben vasy, met-moi ce que tu as fait ... je te dirai ce qui est juste, et je te corrigerai ce qui est faux

[nico033]

il faut derive f(x) = x²-2x-2*ln(1-xexp(-x))
donc je vais dériver: ln(1-xexp(-x)) et jai trouvé que ca faisait:
(x-1)/(exp(x)-x).

donc f'(x) = 2x-2-2*((x-1)/(exp(x)-x)).
f'(x) = 2x-2-2(x-1)/(exp(x)-x).
f'(x) = 2x-2-(2x-2)/(exp(x)-x)

et je nai pas la meme chose que ce que lon me donne?

et apres il faut etudier les variations de la fonction , donc moi je dirai que f'(x) a le meme signe que 2*(x-1) car exp(x) est positif pour tout x reel (est ce ca??)

[Monsieur23]

donc je vais dériver: ln(1-xexp(-x)) et jai trouvé que ca faisait:
(x-1)/(exp(x)-x).

C'est bon.

La suite me parait bien aussi ...

Qu'est ce qu'on te donne comme formule ?

[nico033]

mais pourtant je ne trouvz pas la meme chose avec mon expression!! et apres on me demande detudier les variations de la fonction f(x)

[nico033]

la formule que lon me donne est:
f'(x) = (2*(x-1)*(exp(x)-x-1))/(exp(x)-x)

[nico033]

et pour etudier les variations de la fonction javais pensé a dire que f'(x) a le meme signe que 2*(x-1) car on sait que exp(x) est toujours positif pour tout x reel, donc (exp(x)-x-1) et (exp(x)-x) est positif, est ce que vous etes daccord avec moi?

[Monsieur23]

Ahh ...

Ben t'as qu'à tout mettre au même dénominateur, et tu trouveras ça ..

Ensuite, un tableau de signe s'impose ...

Tu avais déjà étudié la fonction Exp(x) - x tout à l'heure, ça pourra t'aider :)

[Monsieur23]

car on sait que exp(x) est toujours positif pour tout x reel, donc (exp(x)-x-1) et (exp(x)-x) est positif

Je suis d'accord, mais ce n'est pas trivial ...
Il faut le prouver

[nico033]

ah bon!! ou la la ca devient compliquer alors, vous pourriez maider sil vous plait

[Monsieur23]

Comme je te dis, tu as dû étudier la fonction Exp(x) - x tout à l'heure ...

Qu'avais-tu trouvé comme tableau de variations ? Comme minimum ?

[nico033]

l'étude de exp(x)-x ma permis de dire que la dervivée de cette expression est
exp(x) - 1 donc

x -infini 0 +infini
exp(x)-1 - +
decroissante croissante

exp(0) - 0 = 1.

[Monsieur23]

Voilà, donc grâce à ce tableau, tu vois que Exp(x) - x est toujours strictement positif ...

Ensuite, comme le minimum est 1, si tu considères la fonction Exp(x) - x- 1, son minimum sera 0, donc cette fonction sera toujours positive ou nulle...

C'est seulement maintenant que tu peux faire le tableau de signe de ta dérivée :)

A toi de jouer :)

[nico033]

ah bon en voyant le tableau de signe que je vien de faire on peut dire que la fonction exp(x) - x est toujours positive mais pourquoi? cest pas vrai car elle est negative entre -infini et 0 je ne comprend pas la

[Monsieur23]

Eh ben pourquoi ?

Calcule Exp(-1) - (-1), histoire de voir si elle est négative sur ]-infini, 0] ...

[nico033]

ah daccord

[nico033]

donc pour letude de f(x) jai droit de dire maintenant que f'(x) a le meme signe que 2*(x-1)?? et donc mon tableau sera:

x -infini 0 1 +infini

f'(x) - - +

f(x) decroisante decroissante croissante

est ce que cest juste??