G d'ordre 30 ; L un sous groupe d'ordre 15
Soit G2 un 2-sous-groupe de Sylow de G. Il existe 4 homomorphismes
de groupes de G2 dans Aut(L).
On identifie L à ((Z/3Z) × (Z/5Z)) iso (Z/15Z)
et ainsi, on a :
Aut(Z/15Z) iso (Z/15Z)* = (Z/3Z)* × (Z/5Z)*
iso Z/2Z × Z/4Z = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3)}
Si p est un homomorphisme de groupes de G2 = Z/2Z dans Aut(L) iso
Z/2Z×Z/4Z = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3)} alors p(0) =
(0, 0) = p(1) + p(1). Et ainsi, les seules possibilités pour p(1) sont :
p(1) = (0, 0), p(1) = (0, 2), p(1) = (1, 0) ou p(1) = (1, 2).
Les groupes dordre 30 (à isomorphisme près) sont :
Z/30Z, Z/3Z × D5, Z/5Z × D3 et D15.
voici l'explication :
En effet, comme L est distingué dans G, L inter G2 = {1} et LG2 = G, alors G
est isomorphe au produit semi-direct de L avec G2.
Si p(1) = (0, 0), alors p est lhomomorphisme trivial, et dans ce cas G iso L×G2
(produit direct), il est isomorphe au groupe commutatif Z/3Z×Z/5Z×Z/2Z iso
Z/30Z.
Si p(1) = (0, 2), le groupe G2 opere trivialement sur Z/3Z, et on peut
donc considérer seulement laction de G2 sur Z/5Z, on trouve le groupe
D5 = produit semi direct de Z/5Z avec Z/2Z et donc G iso Z/3Z × D5.
Si p(1) = (1, 0), le groupe G2 opere trivialement sur Z/5Z, et on peut
donc considerer seulement laction de G2 sur Z/3Z, on trouve le groupe
D3 = produit semi direct de Z/3Z avec Z/2Z et donc G iso Z/5Z × D3.
Si p(1) = (1, 2), dans ce cas G iso produit semi direct de Z/15Z avec Z/2Z = D15.
Pour le cas p(1) = (0,0) , j'ai compris, mais pour les autres, par exemple le cas p(1) = (1,0) je vois pas le rapport entre l'action de G2 sur L et le groupe Z/3Z.