Besoin d'éclaircissement.

[Mdaniel]

Bonsoir à tous,

On me demande dans un exo, le(s) critère(s) de divisibilité par 11.
====> Wikipédia

Je trouve :

Pour déterminer si un nombre N est divisible par 11 :

* on calcule la somme A des chiffres en position impaire ;
* on calcule la somme B des chiffres en position paire ;

N est divisible par 11 si et seulement si la différence A – B (ou B – A) est divisible par 11.

Cela revient à effectuer la somme alternée de ses chiffres.
Exemple :

Considérons le nombre 19 382.

A = 1 + 3 + 2 = 6
B = 9 + 8 = 17
B – A = 17 – 6 = 11

Nous trouvons un résultat divisible par 11, donc 19 382 est divisible par 11.

(Cf. http://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_de_crit%C3%A8res_de_divisibilit%C3%A9#Crit.C3.A8re_de_divisibilit.C3.A9_par_11)

Par simple curiosité, quelqu'un connaitrait la démonstration de ce qui précède ?

Merci d'avance.

[nodjim]

10=(-1) modulo 11
100=10*10=(-1)*(-1)=1 modulo 11
1000=10*100=(-1)*1=(-1) mod 11
Général:
10 puissance paire=1 mod 11
10 puissance impaire=(-1) mod 11
Chaque chiffre du nombre est donc à multiplier par 1 ou -1 selon son rang.

[Mdaniel]

Ah ouai ok, j'étais pas du tout partis où il faut .. !

Mais, quand tu passes à l'exemple général, y'a pas moment de prouver ça en passant par une expression arithmétique ? Du style

10^(2k+1) dans le cas d'un nombre impair et
10^2k dans le cas d'un nombre pair

Je ne sais pas si je me suis bien fait comprendre ^^