Résoudre y'+y²=1

[Dubble]

Bonjour.
Je cherche à résoudre cette équa diff non linéaire de manière propre.
J'ai vu ça dans mon DS de physique de ce matin. Un peu perdu, j'ai essayé quelques fonctions que je connaissais, de voir quelle tête elles devaient avoir au vu de la situation, etc...
J'en suis arrivé à dire que une solution de y'+y² = 1 c'est une solution de y'+y²=0 + la fonction constante égale à 1.
Mais en fait l'équa diff n'est pas vraiment linéaire c'est un peu faux...
Comment résoudre cette équa diff et arriver à tanh?
Sachant que l'énoncé ne donnait aucune indication particulière. La correction utiliser une méthode douteuse de physique, qui nécessite visiblement de savoir la solution avant de la démontrer
Merci de votre aide.

[el niala]

c'est une Ricatti, tu as des exemples de résolution un peu partout (elle est courante en méca), ici par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Riccati

[Skullkid]

Salut, ton équation se résout par séparation des variables. Pour le faire proprement, tu peux commencer par remarquer que les seules solutions constantes sont 1 et -1, donc d'après Cauchy-Lipschitz toutes les autres solutions maximales ne valent jamais 1 ou -1, ce qui permet, pour ces solutions, de réécrire l'équation . Ensuite tu peux intégrer entre x0 et x, faire un changement de variable dans l'intégrale de gauche et ça te donnera quelque chose du genre . Selon la position de y par rapport à 1 et -1 ça donne deux types de solutions non constantes : valables sur , et valables sur tout entier.