Propriétés de la fonction exponentielle

[kat]

bonjour,
je suis en première année de fac de sciences et j'ai un petit souci.

On sait que :
- exp dérivable sur R ; (1)
- exp'(x) = exp(x) ; (2)
- exp(0) = 1. (3)

démontrer que exp(x).exp(-x) = 1
et exp(a+b) = exp(a).exp(b) grâce à (1) (2) et (3)
Aucun problème.

Dans la suite de l'exercice on s'intéresse à la réciproque.
on suppose qu'il existe une fonction telle que
f(a+b) = f(a).f(b)
j'ai réussi à démontrer qu'elle vérifie (3)
mais je n'arrive pas à démontrer qu'elle vérifie (1) (2).
et ensuite, finir par démontrer qu'il s'agit de la fonction exponentielle.

Merci.

[serge75]

Il faut que tu rajoute à tes hypothèses que f n'est pas identiquement nulle. En effet la fonction nulle vérifie bien f(a+b)=f(a)f(b) mais n'est pas une exponentielle.
De là, supposons qu'il existe un u tel que f(u) soit non nul. Alors f(u+0)=f(u)f(0), et en simplifiant par f(u) qui est non nul, on obtient f(0)=1.
Ce premier point étant obtenu, posons a=f(1).
f(1)=f(1/2+1/2)=f(1/2)². Donc f(1)=a est positif.
Par récurrence, on a pour tout entier naturel n : f(n)=a^n.
Par ailleurs 1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x), et donc f(x) et f(-x) sont inverses l'un de l'autre et non nuls. Donc pour x=1, on obtient a non nul et donc a>0. Pour x=-n avec n entier naturel, on obtient f(-n)=1/(a^n)=a^(-n).
On peut donc affirmer que pour tout n élément de z on a f(n)=a^n.
Soit r un rationnel avec r=p/q. Alors f(qr)=f(r)^q d'une part (par récurrence sur q), et f(qr)=f(p)=a^p d'autre part. Donc f(r)^q=a^p, et donc par positivité f(r)=a^(p/q)=a^r.
Finalement, pour tout x rationnel, on a f(x)=a^x.

Ultime point : il nous manque une hypothèse, la plus naturelle étant la continuité de f (mais on peut lui substituer f monotone, ou même f est bornée au voisinage de l'origine).
Prenons f continue (on peut en fait limiter à f continue en 0, en montrant que l'équation fonctionnelle transporte la continuité à tout R). Soit alors x un réel.
il existe une suite de rationnels x_n qui converge vers x.
Par continuité de f, f(x_n) converge alors vers f(x).
Donc f(x) est la limite des a^(x_n). Par continuité de l'exponentielle de base a; on a alors f(x)=a^x.
Bref, si f vérifie ton équation fonctionnelle, n'est pas la fonction nulle, et est continue, alors f est l'exponentielle de base a=f(1).

Si on ne dispose pas de la continuité ou d'une hypothèse qui nous y ramène ? Ben on est bien embêter, et opn peut même construire moyennant l'axiome du choix et les bases de Hammel (si je ne me trompe) un contre-exemple. Mais c'est une autre histoire.

[kaiser]

Bonjour kat

N'y a-t-il pas d'autres hypothèses sur f telles que la dérivabilité en 0 ou la continuité ?

Kaiser

[serge75]

Ceci dit, j'ai mal lu ton énoncé, car je te refais la construction complète montrant qu'il s'agit de l'exponentielle, alors qu'on ne t'en demande pas tant.
Mais comme le fait remarquer kaiser, sans une hypothèse en plus, je crains qu'on ne puisse résoudre ton problème.