Intégration

[guinotfr]

Bonjour à tous,

Je cherche à trouver une primitive de l'expression suivante :

cos(ax+bx^3)

où x est la variable et a et b des constantes.

Y a-t-il un changement de variable judicieux à appliquer ?

Merci !

[bend]

On pose F(x) = Integre (Exp(i(at+bt^3)) dt '' integrale complexe"

il suffit alors de remqrer que la permitive recherchée [cos(ax+bx^3]est

[cos(ax+bx^3)] = Re (F(x)) "la partie réel de F"

Calcule F avec une integration par partie et conclure apres la prémitive de cos(ax+bx^3)

[bend]

Pour t'aider plus++,
on pose H(x) = integrale (0-->x) (exp(at+bt^3)) dt et f(x) =ax+bx^3

montrer par integration de partie "plusieures fois" que :

[1-(2a/3b²)] H(x) = [1-(2ax/b^3)+(4a/3b^3)] * exp(f(x)) + constante

[Ben314]

Salut,
La méthode suggérée par bend est, en théorie, tout à fait valable, mais j'ai des doutes sur le fait que l'on puisse exprimer une primitive de
cos(ax+bx^3) à l'aide de fonctions "élémentaires"...
Est tu sûr que ton exo. demandait explicitement une primitive de cette fonction ?

[Ben314]

Salut,
La méthode suggérée par bend est, en théorie, tout à fait valable, mais j'ai des doutes sur le fait que l'on puisse exprimer une primitive de
cos(ax+bx^3) à l'aide de fonctions "élémentaires"...
Est tu sûr que ton exo. demandait explicitement une primitive de cette fonction ?

Pour bend, peut tu vérifier, par exemple pour a=0 et b=1 que la fonction que tu obtient est bien une primitive de exp(t^3) ?
(j'ai des doutes, mais je ne suis pas sûr que c'est faux...)

[guinotfr]

Merci bien !
Je vais regarder cela.

[guinotfr]

Il ne s'agit pas vraiment d'un exercice. Je suis en thèse de méca. Je pourrais écrire un DL mais ça ne m'arrange pas trop. Une écriture littérale de la primitive m'arrangerait bien !
En tout cas je essayer d'approfondir ces pistes.

merci !

[Ben314]

Je suis de plus en plus convaincu qu'il n'y a pas "d'écriture litérale" à l'aide des fonctions élémentaires.
Je pense que tu connais la "gaussienne" qui est (plus ou moins) la primitive de exp(-t²/2) et on ne peut pas l'exprimer à l'aide de "fonctions élémentaires"
(bien évidement, tout dépend de ce que l'on met sous le vocable "fonction élémentaire"...)

[JeanJ]

Bonjour guinotfr,

sauf dans certains cas particuliers (c'est-à-dire sauf pour certaines valeurs particulières de a et b et/ou lorsque les bornes d'intégration sont définies et ont certaines valeurs particulières ), donc dans le cas général, les primitives de cos(ax+bx^3) ne peuvent pas être exprimées avec un nombre fini de fonctions usuelles.
Plus clairement dit, tu ne trouveras pas de primitive en ne connaissant que les fonctions habituelles.
On peut exprimer les primitives de cos(ax+bx^3) sous la forme de séries infinies et avec certaines fonctions spéciales, mais ce serait compliqué et d'un niveau élevé.
S'il s'agit d'un problème mathématique scolaire, je parierais que :
- Il y a 49% de chances qu'on puisse répondre à la question posée dans l'énoncé du problème sans connaitre explicitement une primitive de la fonction.
- Il y a 49% de chances qu'il y ait une erreur, soit de recopie de l'énoncé, soit dans les calculs préliminaires ayant conduits à cette intégrale.
- Il y a 2% de chance que ce soit autre chose.
Par contre, s'il s'agit d'un problème de physique, il n'y a rien d'étonnant à tomber sur une intégrale comme celle-là : Dans ce cas, il faut penser à d'autres méthodes (calcul numérique, approximations, etc. )

[JeanJ]

guinotfr,

je viens seulement de voir ton message de 10h51 : il a été posté pendant que je dactylographiais le mien.
Donc mes suppositions concernant un exercice scolaire sont tout à fait hors de propos.
Dans ce que j'ai écrit, je ne maintiens donc que :
<< Par contre, s'il s'agit d'un problème de physique, il n'y a rien d'étonnant à tomber sur une intégrale comme celle-là : Dans ce cas, il faut penser à d'autres méthodes (calcul numérique, approximations, etc. ) >>

[Ben314]

...sauf pour certaines valeurs particulières des bornes d'intégration...

Par exemple, si b est non nul, l'intégrale de 0 à l'infini est convergente (ou "semi convergente" si on veut rentrer dans les détails) et je pense qu'on peut la calculer (mais ça risque d'être hautement non trivial...)

P.S. comme je suis un peu bourrin, je vient de demander à Maple : il arrive à exprimer cette intégrale à l'aide des fonctions de Bessel (ce qui n'est pas vraiment surprenant...)

[JeanJ]

J'approuve grandement ce que Ben314 a écrit dans ses posts précédents.

[Ben314]

J'approuve grandement ce que Ben314 a écrit dans ses posts précédents.

Et... vice versa... :zen:
Je rajouterais qu'il me semble que toutes le méthodes (y compris numériques) demanderait à savoir si ce qui t'interesse est plutôt un comportemet "local" (par exemple pour t 'pas trop loin' de 0) ou un comportement assymptotique (i.e. lorsque t tend vers l'infini).
Pour un problème d'origine physique, les deux peuvent avoir du sens, mais les calculs mathématiques risquent d'être assez différents...

[JeanJ]

citation de Ben314:
<< P.S. comme je suis un peu bourrin, je vient de demander à Maple : il arrive à exprimer cette intégrale à l'aide des fonctions de Bessel (ce qui n'est pas vraiment surprenant...) >>
S'il s'agit seulement de fonctions de Bessel, cela reste de niveau abordable.
Ca peut être intéressant. Je n'avais pas regardé, mais je vais y jetter un oeil : ça peut en valoir la peine si on arrive à une expression pas trop horrible !

[JeanJ]

Re-bonjour,

L'intégrale définie (entre x= 0 et x=+infini) de cos(ax+bx^3)*dx est facilement identifiable avec la fonction Ai(X) : l'une des fonctions d'Airy (à un coefficient près, aisé à calculer et avec X dépendant de a et b selon une formule très simple).
Sachant que cette fonction d'Airy est directement liée, par une relation connue, à la fonction K de Bessel modifiée il n'y a aucune difficulté à obtenir la relation entre cette intégrale et la fonction de Bessel correspondante.
Par contre, pour l'intégrale indéfinie, c'est à dire une primitive de cos(ac+bx^3) dans le cas général, c'est une toute autre histoire.
Si une fonction spéciale a été définie pouvant constituer une réponse formelle, elle aurait probablement été nommée "Fonction d'Airy incomplète".
A ma connaissance, cette fonction ne figure pas parmi les fonctions spéciales répertoriées. Encore faudrait-il faire une recherche bibliographique sérieuse pour le vérifier : il n'est pas impossible qu'un (ou des) mathématicien(s) l'aie étudiée et que l'on puisse trouver une (ou des) publications à ce sujet.
Si on tient vraiment à trouver une expression litérale pour cette primitive, je conseillerais de faire une recherche bibliographique dans le domaine des fonctions d'Airy (évidemment pas les fonctions d'Airy connues et répertoriées, mais dans les généralisations de ces fonctions. Et peut-être que oh! merveille ! on trouverait une (ou des) référence(s) à l'hypothétique "Fonction d'Airy incomplète" (sous ce nom là, ou éventuellement sous une autre appellation).

Note tardive: Il se trouve que je n'avais pas encore rencontré ces "Incomplete Airy Fonctions" lors de mes périgrinations mathématiques, ce qui est étonnant, rétrospectivement. En fait, cela semble être couramment utilisé : on en voit de nombreuses références dans des publications de Physique. Néanmoins, je ne modifie pas ce que j'avais trop hativement écrit, bien que ce soit largement dépassé !

[JeanJ]

Un petit coup de Google et on trouve :
citations :

Efficient and accurate computation of the incomplete Airy functions
An efficient and accurate method for computing the incomplete Airy functions
would make the solutions to such problems useful for engineering purposes. ...
http://cat.inist.fr/?aModele=afficheN&cpsidt=3843922 -

On a class of complete and incomplete generalized Airy functions ...
and the incomplete Generalized Airy function is the appropriate canonical
function .... “On Incomplete Airy Functions and their application ...
http://ieeexplore.ieee.org/iel2/668/5790/00221909.pdf?arnumber=221909 -

On the efficient calculation of the incomplete Airy function with ...
One such transition function is the incomplete Airy function which is applicable
when two reflection points are arbitrarily close to each other and the ...
http://www.agu.org/pubs/crossref/1988/RS023i006p01133.shtml -

On the efficient calculation of the incomplete airy function with ...
Citation: Cwik, T. (1988), On the efficient calculation of the incomplete airy
function with application to edge diffraction, Radio Sci., 23(6), 1133–1140. ...
http://www.agu.org/pubs/crossref/1988/88RS03458.shtml - 4k - Archivé en mémoire

On Incomplete Airy Functions and Their Application to Diffraction ...
On Incomplete Airy Functions and Their Application to Diffraction Problems.
Authors: Levey, L.; Felsen, L. B.. Publication: Radio Science, vol. ...
http://adsabs.harvard.edu/abs/1969RaSc....4..959L -

DLMF: incomplete
Incomplete Airy functions are defined by the contour integral (9.5.4) when one
of ... Efficient and accurate computation of the incomplete Airy functions, ...
http://dlmf.nist.gov/search/search?q=incomplete - 12k - Archivé en mémoire

etc.

Je pense qu'en étudiant ces documents (et d'autres à rechercher dans les fonds bibliographiques), guinotfr trouvera la réponse qu'il souhaitait : Les primitives de la fonction cos(at+bt^3) s'expriment de façon relativement simple avec ces fameuses "Incomplete Airy Functions". Il s'avère exister toute une littérature sur leurs propriétés, ainsi que des algorithmes performants pour les calculer numériquement.

[guinotfr]

Waou !! Merci infiniment pour toutes ces réflexions et ces pistes !! Je n'en attendais autant !
Je vais creuser !