Topologie

[Als128]

Bonjour,

Je suis en train de voir le cours sur la dualité et j'ai un peu de mal a comprendre le sens et le but des différentes topologies.
Comme je deteste apprendre des définitions sans les comprendre, j'aimerais bien qu'une âme charitable m'explique ces points de cours. En fait je ne comprends pas bien l'intérêt de la topologie forte, faible et faible-* A quoi ça sert ?

Merci à ceux qui voudront bien m'aider (et pour qui c'est plus clair)

[Ben314]

Bonjour,
C'est à peu prés le même intérêt que, pour les bêtes fonctions de R dans R, de considérer les différentes notions de convergence (simple, uniforme, uniforme sur tout compact...) : chaque notion a son utilité en fonction du contexte dans lequel on est...

[Joker62]

J'pourrais pas partir dans un exposé super précis parce que je maîtrise pas, mais la topologie sert à rendre toutes les formes linéaires continues.

On s'est juste rendu compte qu'en dimension inifinie, il existait des formes linéaires non continues, ce qui embêtait un peu tout le monde, donc on a dit : soit machin la topologie qui va rendre toute les formes linéaires continues ( ça se justifie par le fait que l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert ).

Après pour la topologie weak-*, il me semble que c'est équivalent mais avec le bidual
Enfin je peux pas trop en dire plus...

[ffpower]

Ce que tu dis est faux Joker. Ya toujours des formes linéaires non continues, même avec la topo faible. Tout ce qu'on fait, c'est qu'on essaie de rendre la topo moins "robuste", dans le sens ou il devient plus facile pour une suite de converger, mais en faisant en sorte que les formes linéaires continues pour la topologie initiale restent continues pour la nouvelle topologie. Mais on ne crée pas de nouvelles formes linéaires continue.

[Ben314]

Désolé, joker, mais je me sens obligé de te reprendre : les différentes topologies que l'on met sur le dual topologique de E ne servent pas à rendre les formes linéaires continues.
Si on voulais changer le status continue/non continue de certaines formes linéaires sur E, c'est la topologie de E qu'il faudrait changer.
Par contre, ce qui est vrai, c'est que de changer la topologie du dual de E change la nature du... bidual de E.

P.S. pas vu le post de ffpower....

[Als128]

En fait ce que vous êtes en train de dire c'est que cette notion de topologie faible permet d'elargir ou de "prolonger" certaines notions qui existent au sens de la topologie "forte" (qui est celle qu'on présente en prépa...)
Il n'existe que ces 3 topologies ou il y en a d'autres ?

[Joker62]

Ah bah ça va on m'a repris lol
J'y ai pensé pendant ma douche et oui j'ai complètement tort désolé.

C'est bien la moins fine pour laquelle toute forme linéaire continue reste continue.
Sorry pour la bourde.

[Ben314]

Personellement, je ne vois pas une des deux notions comme "élargissant" l'autre (dans le sens qu'elle est plus "générale").
As tu l'impression que, pour les fonctions de R->R, la C.V. simple "élargit" la C.V. uniforme (ou le contraire) ? Les deux notions sont utiles.
Pour ce qui est des "3" topologies, fait tout d'abord attention à ne pas mélanger les topologies sur E et celles sur le dual topologique E'.
On peut évidement trouver d'autres topologies sur E ou E' pour un espace connu E et, dans le cas général, on peut aussi trouver d'autres topologies sur E' en considérant le dual E'' de E' (attention, ce dual dépend de la topo que l'on a pris sur E') puis les différente topologies sur le "couple" (E',E'').

[kawtarf]

On nous a demandé en cours de topologie de montrer que si Xn est une suite dans A-{x} mais qui converge vers x alors l'intersection entre A et V est infinie (avc V un voisinage de x ) . je ne vois pas comment faire ca alors si quelqu'un peut aider .... =) ! mercii

[kawtarf]

tenez un autre exo de topologie ... c'est vrai c'est des demonstrations classiques mais parfois y a du mal a comprendre le principe :
Montrer que si A est dense dans IR alors A'=IR .
(A' : ensemble des points d'accumulation de A )

[Ben314]

Bonjour kawtarf,
Tu devrait créer une nouvelle discution plutôt que de ralonger celle là avec des questions ayant peu de rapport avec le sujet, puis effacer tes deux posts (j'effacerais alors le mien et essayerais de te répondre)

[Als128]

A propos du bidual, mon cours dit que J : E'' -> E est une isométrie linéaire...
Ca veut bien dire que ||J(x)||=||x|| et que J est une application linéaire, c'est ça ?

[Ben314]

Tout à fait.
Attention à bien préciser quelles normes on prend sur E'' et sur E si on des dans un chapitre où on les a muni de différentes topologies...
(encore que, si on parle de norme, il n'y a pas trop le choix....)

[Als128]

Pour revenir sur la topologie "faible" mon cours insiste sur l'importance de la boule unité et sa non-compacité dans la topologie de la norme lorsque l'espace est de dimension infinie.
Pourquoi est ce si important de pouvoir utliser une compacité "faible" pour cette boule unité ?

[Nightmare]

Salut,

la boule unité d'un evn pour la topologie faible n'est pas forcément non-compacte ! En fait elle est compact dès que E est son propre bidual (et c'est une équivalence)

[Als128]

Oups.. je me suis mal exprimé... Ca je l'ai bien compris! En fait je disais que la boule unité n'était pas compact pour la topologie de la norme (c'est ce que mon cours dit en introduisant le théorème de Riesz)
Il explique ensuite que le but du paragraphe est de trouver une topologie (faible) pour laquelle la boule unité est compacte... J'ai bien compris la démarche de mon manuel, mais je comprends pas pourquoi il est si important d'obtenir une compacité, même faible, sur la boule unité