Géométrie analytique

[polarysso]

Bonjour;

J'ai un exercice que je n'arrive pas du tout à commencer :

On considère le plan P : x=3. La sphere S de centre O et de rayon 3, le cône de révolution C d'équation x²+y²+z²=0. Déterminer les intersections :
P et C
S et C

je ne sais pas par quoi commencer..
La sphere a ,donc, pour équation y²+x²+z² = 9
Le cône x²+y²+z² = 0 ( écrit dans l'énoncer)
& Le plan : x=3

[maturin]

euh l'équation de ton cone est fausse il doit y avoir un - dans une des coordonnés
genre x²+y²-z²=0 est un cone de révolution d'axe Oz


x²+y²+z²=0 c'est l'équation de ton point O.

[maturin]

sinon l'équation de ta sphere est x²+y²+z²=9
celle de ton plan x=3

donc une fois que tu connais l'équation exacte de ton cone tu mets les deux équation ensemble et tu en déduis une troisieme simple.

Et tu as en fait deux cas:
cone autour de l'axe x: -x²+y²+z²=0 => l'intersection avec P est un cercle
cone autour de l'axe z :x²+y²-z²=0 => l'intersection avec P est une hypebole.
pour l'axe y c'est pareil que z (tu fais juste une rotation).

et pour l'intersection de ton cone avec la sphere ca fera 2 cercles quel que soit l'axe.

[polarysso]

Merci Maturin
Oui, l'equation du cône est : x²+y²-z² = 0 .
Pour ce qui est de ce que tu viens d'expliquer j'ai pas compris :triste: désolé

[maturin]

intersection de P et de C:
Les points de l'intersection respectent:
x=3 et x²+y²-z²=0

donc ils sont sur y²-z²=9 ce qui est léquation d'une hyperbole.

intersection de P et S
x²+y²-z²=0
x²+y²+z²=9

<=> 2z²=9 et x²+y²=9
<=> z=+ou- 3V2 et x²+y²=9
soit deux cercles d'axe Oz, de rayon 3, un placé à z=3V2 et l'autre à -3V2
(V = racine)

[polarysso]

pour P & C :
Donc il y a tous les points se trouvant sur l'hyperbole ?

pour S & C :

comme 2z² = 9/2 alors z² = 9/2
donc racine de ( 9/2) = 3 racine de 2 ??
et - racine de (9/2) = - 3 racine de 2 ??

[maturin]

oui pour me reprendre l'intersection de C et P a pour équation:
x=3
y²-z²=9
ce qui est l'équation d'une hyperbole dans le plan x=3 (il faut bien garder ton x=3 pour les équivalences)


pour S et C oui je me suis trompé :marteau:
z=3/V2 ou z=-3/V2

[polarysso]

merci,

pour S et C oui je me suis trompé :marteau:
z=3/V2 ou z=-3/V2

Pk peut-on passer de racine de 9/2 à 3 racine de 2 ??

& pour P & C :
comment un plan et un cube peuvent se croiser en une parabole ? :help: je crois que je n'ai toujours pas compris

[maturin]

alors
a=9 => Va=3
b=1/2

Et j'ai mis 3/V2

Sinon C est un cone pas un cube.

[polarysso]

merci :)

oui *un cone,
un cone et un plan peuvent se croiser en une parabole entiere ?? :doh:

[maturin]

oui, ici ton cone est un genre de sablier, donc t'aura bien les 2 branches de ton hyperbole (et non parabole)

si à l'équation de ton cone tu avais ajouté z>0 tu aurais eu un "demi" cone ce qui ressemble plus au cone du langage courrant. Et là tu n'aurais qu'une seule branche de ton hyperbole.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Coniques_cone.png
tu auras le dessin du cone avec l'intersection du plan vertical

[polarysso]

pour la derniere on trouve z = 3/racine 2 iou -3 /racine 2 mais cela ne nous donne pas y et x ?? ainsi que pour l'hyperbole trouvé ?

[maturin]

x et y sont donnés par x²+y²=9

[polarysso]

ba on ne peut pas savoir la valeur de x et y ? car il y a deux inconnues..

[maturin]

j'ai pas dit qu'il y avait une unique valeur.
x²+y²=9 est l'équation d'un cercle.

L'intersection de S et C c'est l'ensemble des points qui vérifients les deux équations
x²+y²=9
et z²=9/2

Cet ensemble est 2 cercles de rayon 3 autour de l'axe Oz, un à la hauteur z=3/V2 l'autre à la hauteur z=-3/V2

Essaie de faire un dessin ou de te représenter C, S et P dans l'espace pour comprendre ce que tu fais, ça t'évitera de t'embrouiller.

[polarysso]

merci, j'ai essayé de faire un dessin je suis pas sur de moi mais je pense que cela ressemble assez à ca.
Mais ce qu'il faudrai que je sache c'est comment dire que c'est l'ensemble de cette équation et pourquoi pas plusieurs points où je serais les coordonnées, car cela me semble bizare que je ne doit pas avoir les coordonées ( x;y;z)

[polarysso]

:help: :help:

[maturin]

l'intersection de C et S c'est l'ensemble des points qui sont sur C ET sur S
c'est-à-dire l'ensemble des points de coordonnées (x,y,z) qui vérifient les deux équations:
x²+y²-z²=0
x²+y²+z²=9

Ce système d'équations est équivalent au système suivant:
x²+y²=9 => ceci est l'équation d'un cylindre d'axe Oz et de rayon 3
z²=9/2 => ceci est l'équation de deux plans horizontaux (parallèles à Oxy) situé aux hauteur z=3/V2 et z=-3/V2

les points qui vérifient ces 2 équations sont sur ce cylindre et sur ces plan
l'intersection de ce cylinde et de ces plans est 2 cercles horizontaux de rayon 3, un à hauteur z=3/V2 et l'autre à -3/V2

De manière générale dans la géométrie dans l'espace l'intersection de deux surfaces est une courbe."
"l'intersection de C et S c'est l'ensemble des points qui sont sur C ET sur S
c'est-à-dire l'ensemble des points de coordonnées (x,y,z) qui vérifient les deux équations:
x²+y²-z²=0
x²+y²+z²=9

Ce système d'équations est équivalent au système suivant:
x²+y²=9 => ceci est l'équation d'un cylindre d'axe Oz et de rayon 3
z²=9/2 => ceci est l'équation de deux plans horizontaux (parallèles à Oxy) situé aux hauteur z=3/V2 et z=-3/V2

les points qui vérifient ces 2 équations sont sur ce cylindre et sur ces plan
l'intersection de ce cylinde et de ces plans est 2 cercles horizontaux de rayon 3, un à hauteur z=3/V2 et l'autre à -3/V2

De manière générale dans la géométrie dans l'espace l'intersection de deux surfaces est une courbe.

[polarysso]

merci, pour S et C alors cela est un cercle de rayon 3 ?