Nombres complexes

[Zweig]

Salut,

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer d'où vient la ligne soulignée ?



Enfin, je suppose que cela vient de l'orthogonalité, mais normalement c'est Re(zz') = 0 et non Im(zz') = 0 la condition d'orthogonalité entre 2 vecteurs dans le plan complexe.

Merci d'avance.

[fatal_error]

salut,

de :

on remplace dans

[Zweig]

Certes, mais j'aimerai bien savoir d'où vient la ligne rouge ...

[fatal_error]

désolé, j'ai pas vu que c'était une preuve. C'est sur que partir du résultat c'est pas super... :marteau:

[Doraki]

Il faut voir que l'angle de la droite avec l'axe des abscisses est .
(Pour ça on vérifie que si est sur la droite,aussi).

Ensuite, un nombre est égal à son conjugué si et seulement si il est réel :
la ligne soulignée équivaut à , soit bien .

Une alternative est de regarder la forme des droites perpendiculaires à la droite de départ :
en changeant z par iz, on voit que ces droites sont celles de la forme où est quelconque.
A partir de là en disant que est sur la même droite que d'équation on arrive à la ligne soulignée.

[yos]

je suppose que cela vient de l'orthogonalité, mais normalement c'est Re(zz') = 0 et non Im(zz') = 0 la condition d'orthogonalité entre 2 vecteurs dans le plan complexe.

est normal à la droite.

[Zweig]

Désolé, mais je n'ai pas bien compris ton explication Doraki ... :marteau:

[yos]

Mon truc marche pas en fait.
Le beta de Doraki est pas celui de l'équation, sinon ça m'a l'air bien.

[Doraki]

Ben dans la première méthode, on découvre avec un savant calcul quel est en fait l'angle de la droite représentée par l'équation, et on utilise cela pour exprimer la condition (z-z0) orthogonal à la droite.

Dans la deuxième méthode, on découvre avec un savant calcul comment sont les équations des droites orthogonales à celle d'origine, et on utilise cela pour exprimer que z et z0 sont sur une de ces droites.

Personnellement je préfère la première parcequ'on en apprend plus et on sait enfin à quoi ressemble nos droites.

[Zweig]

Ok j'ai compris. Autre chose.

http://www.les-mathematiques.net/g/a/c/node10.php3

Je ne comprends pas, pour la lemme qui déterminer l'affixe de ', comment ils arrivent à et

Merci d'avance.

[Ourfalli]

Bonjour,
D'abord je vous laisse le soin de démontrer que pour tout point d'affixe d'une droite de vecteur directeur d'affixe , on a :
, avec un réel arbitraire qui paramètre la droite .

Ensuite:
L'équation de d est donnée : .
Soit D une droite quelconque passant par et de vecteur directeur .

On a D : avec un réel arbitraire. Mais puisque alors : , par soustraction :
(*)

Puisque alors avec . Afin de faciliter les calculs, on peut choisir q tel que et un angle de rotation positif. Autrement dit, et donc .

En remplacant dans (*) :
, d'où :

[yos]

comment ils arrivent à et

J'ai l'impression qu'il y a un non-dit : le cercle circonscrit est de rayon 1 (ce que l'on peut toujours supposer, puisque les propriétés évoquées sont invariantes par homothétie).
Du coup et sont de module 1. Si en plus, on suppose "vertical", on a. De même, .

[Ourfalli]

Pour les produits et , Yos a raison. On suppose (implicitement) que le rayon du cercle est égale à 1 ().
Imaginons les axes OX,OY et notons :





On a alors :





Et




Donc ,


Ce quotient est invariant par rotation : si on tourne notre figure (sans toucher au axes) d'angle (en gros on multiplie les complexes par ), on aura dans l'équation précédente. Par contre la valeur de ainsi que la valeur de dépendent de la position des axes. Enfin, pour simplifier les calculs on choisit "horizontal" et on aura et , ce qui donne donc :

[Ourfalli]

Le livre de Liang-shin Hahn "Complex Numbres and Geometry" qui est la référence citée dans votre Lien internet est disponible à l'adresse suivante :
http://books.google.fr/books?id=s3nMMkPEvqoC&pg=PP1&dq=Complex+Numbers+and+Geometry&ei=8-TISrmZA4mGNo_smYME#v=onepage&q=&f=false

Le "Le cercle des neuf points" est consultable en ligne à la page 71.

Bonne lecture.